Omikron. Dette græske ‘o’ har fyldt en masse i medierne den sidste tid, efter den for få uger siden blev opdaget i Sydafrika. Den nye SARS-CoV-2-variant dominerer nu i provinser i Sydafrika og spreder sig hastigt omkring i resten af verden, også i Danmark.
Det er endnu ikke helt klart, hvilken betydning Omikron-varianten kommer til at have.
Biologiske og genetiske undersøgelser udføres på højtryk verden rundt i håb om at kunne gennemskue, hvordan varianten adskiller sig fra de tidligere SARS-CoV-2-varianter, i hvor høj grad den er i stand til at undvige immunitet, og hvad det eksempelvis betyder for vaccinernes effektivitet.
Meget er altså stadig uvist fra et biologisk perspektiv, men vi har i Danmark særdeles gode muligheder for at følge Omikrons spredning. I denne artikel vil vi se på, hvordan andelen af Omikron-tilfælde har udviklet sig de seneste uger i Danmark.
Læs med, og få et indblik i, hvordan vi fra et matematisk perspektiv ser Omikrons indtog i Danmark, og hvad vi (forsigtigt) kan forudsige om udviklingen de kommende uger og om, hvornår Omikron bliver den dominerende variant.
Omikron i Danmark
De første Omikron-tilfælde i Danmark stammer fra 24. november. Da vi i Danmark er noget nær verdensmestre i test og gen-sekventering, er vores data særligt gode til at informere om Omikrons udvikling.
Udviklingen i antallet af Omikron-smittetilfælde i Danmark kan du se herunder.
Hvad kan vi se af disse figurer? Vi ser, at både antallet af Omikron-tilfælde og andelen de udgør af alle smittetilfælde stiger.
I rapporten fra Statens Serum Institut (SSI), hvor tallene kommer fra, kan man se, hvordan Omikron spredes i Danmark, både opdelt på geografi og vaccinationsstatus.
Allerede nu er langt de fleste tilfælde uden rejsehistorik, hvilket vil sige, at der er betydelig spredning indenfor landets grænser. Smittetilfælde med Omikron kan altså ikke længere bare afskrives som ‘importerede’ smittetilfælde.
Da der kan være store forskelle i udviklingen på tværs af lande, kan det give mening at betragte den danske situation uden at tage for meget hensyn til udenlandsk data.
Spørgsmålet er så: Hvis Omikron udgjorde mindre end 0,1 procent af tilfælde 24. november og udgør næsten 13 procent 10. december, hvordan kan vi så forvente, at det forløber de næste par uger?
\ Om Forskerzonen
Denne artikel er en del af Videnskab.dk’s Forskerzonen, hvor forskerne selv formidler deres forskning, viden og holdninger til et bredt publikum – med hjælp fra redaktionen.
Forskerzonen bliver udgivet takket være støtte fra vores partnere: Lundbeckfonden, Aalborg Universitet, Roskilde Universitet og Syddansk Universitet.
Forskerzonens redaktion prioriterer indholdet og styrer de redaktionelle processer, uafhængigt af partnerne. Læs mere om Forskerzonens mål, visioner og retningslinjer her.
Fra datapunkter til en matematisk model
Når man ser punkterne i nederste panel på figuren ovenfor, er det nærliggende at tegne en ’passende’ kurve gennem punkterne og prøve at fortsætte denne fremad i tiden. Dette er en af idéerne i matematisk modellering.
Men hvad er en passende kurve?
Vi har tidligere skrevet om, hvordan først alfa-varianten og senere delta-varianten voksede i Danmark. Begge gange så vi en udvikling i andelen af den nye variant som med god tilnærmelse fulgte en logistisk vækstkurve, hvilket er en klassisk ‘S’-formet kurve, der går fra 0 til 100 procent over en periode.
Begge gange dominerede den nye variant indenfor 1-2 måneder fra dens introduktion i Danmark.
Ud fra en matematisk model af sygdomsspredning viser det sig, at netop logistisk vækst er naturlig for denne slags udvikling, hvor to COVID-19-varianter (Delta og Omikron) tænkes at konkurrere om at smitte en befolkning.
Hvorfor det er tilfældet – og hvordan vi finder den rigtige matematiske ligning til at beskrive udviklingen – kan du se i faktaboksen under artiklen.
Lad os foreløbig først bare gå ud fra, at andelen af Omikron-tilfælde vokser logistisk, hvilket vil sige, at andelen følger følgende funktionsforskrift:
| f(t) = | 1 | |
1 + (
|
hvor t er antallet af dage siden en bestemt dag, x0 er andelen af alle PCR-positive, som har Omikron-varianten på den bestemte dag, og a er en parameter, der siger noget om, hvor hurtigt andelen af Omikron-tilfælde vokser.
Tilsammen kan vi så beregne f(t), der er andelen af Omikron-tilfælde på dag t.
En model, der passer med de data, vi ser
Vi tager udgangspunkt i 24. november, der er den første dag, hvorfra SSI har data for Omikron i Danmark.
Hvis man vidste, hvor hurtigt Omikron vokser (altså kendte værdien af a) og vidste, nøjagtigt hvor mange der var smittet med Omikron på dag 0, altså 24. november (og derfor kendte x0), kunne man beregne, hvor stor en andel af Omikron-tilfælde, det er mest sandsynligt, at man finder de efterfølgende dage.
En lang række metoder kan bruges til at komme frem til gode gæt på værdierne for a og x0.
En gruppe af denne slags metoder kaldes ‘Markov chain Monte Carlo’, og ved hjælp af en af disse metoder har vi beregnet os frem til nogle værdier for a og x0, for hvilke den matematiske model passer godt til data.
Resultatet kan du se herunder.
Ud fra figuren vurderer vi, at modellen beskriver data i en tilfredsstillende grad.
At den 1. december ligger lidt udenfor kurven og stiger gevaldigt, kan måske forklares med en øget testindsats i forbindelse med en koncert i Aalborg, en julefrokost i Viborg og to andre smittebegivenheder i København.
Omikron ser ud til at blive altdominerende ved juletid
Når man har fundet et sæt parametre, så den matematiske model passer med data, bliver det først rigtig spændende. Nu kan man nemlig lave en fremskrivning af modellen.
Ved at indsætte eksempelvis t=30 kan man beregne, hvor udbredt Omikron vil være 30 dage efter dag 0, det vil sige 24. december.
Laver man sådan en fremskrivning for alle dage fra nu til 11. januar, så får vi figur 3 herunder.
Ud fra figur 3 kan man lave nogle forsigtige gæt på, hvordan udbredelsen af Omikron kommer til at se ud i fremtiden.
Eksempelvis ser det ud til, at Omikron kommer til at overstige 50 procent af alle positive PCR-prøver – og derved blive dominerende – omkring onsdag, altså 15. december.
Modellens fremskrivning giver en usikkerhed, som betyder, at det godt kan være én dag før eller efter 15. december, at det sker.
På samme måde kan man også aflæse fra figuren, at Omikron juleaften vil stå for et sted mellem 92 procent og 98 procent.
Opdatering: De nyeste tal viser, at vores model ramte plet. Omikron nåede 46-47 procent 15. december og overtog formentlig 16. december. Se også denne Twitter-tråd.
»Det er svært at spå – især om fremtiden«
Dette afsnit (og resten af teksten) er ikke forsøgt opdateret baseret på de nye tal, men står som det stod 13. december.
De forbehold, der tages, er relevante i enhver fremskrivning, hvorfor vi har valgt at bibeholde ordlyden, selvom der er kommet nyere tal.
Det er vigtigt at huske, at en fremskrivning af en matematisk model ikke er ensbetydende med, at fremtiden faktisk bliver, som modellen forudsiger.
Meget kan nå at ændre sig, både i forhold til vores forståelse af, hvordan Omikron spredes og i forhold til smittens udvikling i Danmark.
De data, der ligger til grund for vores beregning, går kun frem til 9. december.
Nyere data er endnu ikke tilgængelige, da de stadig er ved at blive talt op og opgjort af SSI.
Det betyder også, at effekten af de seneste tiltag for at begrænse smitten, indført 8. december, endnu ikke kan ses klart i data.
Den nuværende opmærksomhed på Omikron og stigningen i smitte i Danmark har tydeligvis også en effekt på folks adfærd. Dette må forventes at sløve stigningen i smittetilfælde, overordnet set, men vil ikke påvirke stigningen i andelen, som udgøres af Omikron – medmindre varianter rammes forskelligt af restriktionerne og adfærdsændringerne.
Hvis Omikron eksempelvis viser sig at være mere superspredende end Delta-varianten, kan det påvirke andelen.
Den afbøjning, vi ser i Omikron-andelen 10. december (hvor data dog endnu er ufuldstændig), kan måske være et udtryk for netop sådan en effekt af adfærdsændring efter 8. december. Men det er endnu for tidligt at sige.
Vi ved, Omikron overtager – men ikke præcis hvornår
Når den matematiske model ikke tager højde for den slags ændringer, gør fremskrivningen det naturligvis heller ikke.
Det kan have indflydelse på, hvor hurtigt Omikron bliver den dominerende variant. Forudsigelsen om en dominerende variant allerede 15. december og mindst 95 procent Omikron-tilfælde juleaften skal derfor forstås som en forudsigelse, der forudsætter at intet ændres i samfundet og derfor heller ikke Omikrons udvikling.
Måske bliver Omikron først dominerende senere. Men om de nye tiltag udskyder dagen med et par dage eller måske endda mere, finder vi først ud af, når data bliver tilgængelige de kommende dage.
Vores vurdering stemmer dog overens med udviklingen set i London, hvor 40 procent af smitten er Omikron-varianten. Ligeledes vurderer Statens Serum Institut også, at Omikron bliver den dominerende i løbet af denne uge.
Stadig rigtig meget, vi ikke ved
Vi har her kun set på, hvordan andelen af smittetilfælde tænkes at gå fra at være hovedsageligt Delta-variant til at være Omikron.
Hvilken betydning det får for det samlede antal smittede, er endnu sværere at regne på.
At Omikron muligvis dominerer allerede i løbet af denne uge, er derfor ikke ensbetydende med, at antallet af Omikron-tilfælde vil fortsætte med at vokse lige så hurtigt.
Men det er dog stadig et varsel om, at Danmark – og formodentligt andre lande i verden – meget snart er oppe imod en ny dominerende variant, som vi endnu ikke har haft tid til at forstå biologien og genetikken bag og ej heller kender sværhedsgraden af.
Kan man sige, at Omikron har et betydeligt større basalt kontakttal end Delta, bare fordi den overhaler så hurtigt? Det kunne man i de tidligere overgange fra den originale variant til Alpha og fra Alpha til Delta.
Men nu er der en ny faktor i spil, nemlig at Omikron formentligt er en ‘flugtvariant’, hvor tidligere immunitet (opnået gennem smitte eller vaccination) ikke beskytter i helt samme grad.
Vi har brug for at vide, i hvilken grad Omikron kan overkomme beskyttelsen fra vaccinerne og fra naturlig immunitet. Den hastighed, som Omikron overtager med, som vi så i figurerne ovenfor, kan vi ikke direkte fortolke som en stigning i de basale kontakttal (R0) i forhold til Delta-varianten.
Vi er i stedet nødt til at forstå den relative hastighed som en kombination af Omikrons basale kontakttal (R0) og dens evne til at undvige immunitet.
Et nyt studie fra England forsøger netop at forudsige epidemiens størrelse ved at tage Omikrons evne til at overkomme immunitet, samt effekten af tredje vaccinedosis (booster-doser) ind i deres model.
At forstå Omikrons basale kontakttal er ikke bare en akademisk øvelse; en vurdering af variantens basale kontakttal og graden af immun-undvigelse er afgørende for at kunne forudsige størrelsen af den fremtidige epidemi og for at vurdere, hvor meget epidemien kan kontrolleres med 3. stik og smitteforebyggelse.
\ Kilder
- Rasmus K. Pedersens profil (RUC)
- Lone Simonsens profil (RUC)
- Bjarke Frost Nielsens profil (Niels Bohr Institutet, KU)
- Læs alle tidligere Forskerzonen-artiklen af Lone Simonsen
- Læs alle tidligere Forskerzonen-artikler af Rasmus Pedersen
- ‘Variant-PCR svar fra 27. nov. og frem – analyserede prøver fra TestCenter DK’, Statens Serum Institut
- ‘Modelling the potential consequences of the Omicron SARS-CoV-2 variant in England’, 2021, Preprint
- ‘Risikovurdering af Omikron’, 12.12.2021, Statens Serum Institut
\ Hvordan matematiske epidemi-modeller for to varianter giver logistisk vækst
Da Delta-varianten kom til Danmark og blev den dominerende variant over sommeren 2021, skrev vi en artikel her på Videnskab.dk om, hvordan SIR-modellen kan udvides til at tage højde for to virus-varianter.
I den situation kan forholdet mellem de to varianter netop udtrykkes som logistisk vækst.
Vi vil nu gennemgå matematikken bag beskrivelsen af udbredelsen af to sameksisterende virusvarianter. Det vil sige, vi også dykker ned i ligninger, der måske kan være lidt halvsvære. Det næste er altså for den ekstra interesserede – og/eller for dem, der gerne vil forstå matematikken bag!
To differentialligninger kan stilles op for antallet af smittede med henholdsvis Omikron-varianten og Delta-varianten, inspireret af den klassiske SIR-model:
| dIm |
| dt |
| v(Rt,m – 1) Im |
| dIδ |
| dt |
| v(Rt,δ – 1) Iδ |
Her angiver Im antallet af smittede med Omikron, I antallet af smittede med Delta, angiver perioden man er smitsom (som her antages at være ens for de to varianter).
Parametrene Rt,m og Rt,δ, angiver det effektive kontakttal for de to varianter hver for sig.
Vi har valgt at bruge ‘m’ for Omikron, da det græske bogstav vil ligne et nul, hvilket kunne blive forvirrende.
Andelen af smittetilfælde, som er Omikron, defineres som:
| pm = | Im |
| Iδ + Im |
På baggrund af de to differentialligninger ovenfor kan man nu udlede en differentialligning for pm
| dpm |
| dt |
| v * (Rt,m – Rt,δ) * pm * (1 – pm) |
Denne differential-ligning beskriver netop logistisk vækst fra 0 til 1 med en vækstrate, a, der nu defineres som a = (Rt,m – Rt,δ)
Den analytiske løsning til denne differentialligning er:
| pm(t) = | 1 | |
1 + (
|
Altså netop den ligning vi har benyttet i denne artikel.
Differentialligningerne for Im og Iδ beskriver i virkeligheden det totale antal af smittede på en bestemt dag, og det er derfor også forholdet mellem det totale antal smittede, som pm(t) beskriver.
Hvis man antager, at vi er lige så gode til at opsnappe Omikron-tilfælde som tilfælde med Delta-varianten, så vil formlen også beskrive udviklingen i testresultaterne.
Vi ved dog, at denne antagelse ikke er helt korrekt, da der for tiden gøres mere for at opsøge nære kontakter (og disses nære kontakter) for Omikron-tilfælde end for Delta-tilfælde.
Det er derfor sandsynligt, at vi overestimerer Omikrons udvikling en smule.
En ny situation: Undvigelse af immunitet
I vores tidligere artikel om Delta-varianten kunne vi udregne forskellen i det basale kontakttal for Alfa-varianten og Delta-varianten ud, altså hvor mange hver smittet person i gennemsnit smitter. Men beregningen af det basale kontakttal er ikke så simpel for Omikron.
Det skyldes, at Omikron muligvis er bedre end Delta-varianten til at smitte folk, der tidligere har været smittet eller er vaccinerede.
Hvis dette er tilfældet, vil der findes personer, som ikke er modtagelige overfor Delta-varianten, men som Omikron godt kan smitte.
Graden af immun-undvigelse kan angives ved størrelsen µ, som beskriver hvor meget større puljen af modtagelige individer er for Omicron end for Delta:
Sm = µ * Sδ
Hvor god Omikron er til at omgå vores immunitet, er stadig uklart, men data tyder på at den har denne evne (det tyder dog heldigvis også på, at et 3. stik hjælper gevaldigt mod Omikron).
Det kan være en forklaring på Omikrons hurtige vækst i forhold til Delta.
Svært at sige med sikkerhed, hvorfor Omikron spreder sig så hurtigt
Det effektive kontakttal for Delta på et givent tidspunkt t defineres som:
Rt,δ = R0,δ * Sδ
Her er R0, det basale kontakttal for Delta, og S er den del af befolkningen, der er modtagelige overfor smitte fra Delta.
På en tilsvarende måde vil det effektive kontakttal for Omikron være:
Rt,m = R0,m * Sm = R0,m * µ * Sδ
Pointen er, at hvor vi for Delta-variant kunne beregne forskellen på R0 for Celta i forhold til Alfa, kan vi med Omikron kun komme frem til forskellen på R0, og produktet af og R0,.
Indtil vi kender faktoren µ, kan vi derfor ikke benytte den model, vi bruger her til at give et mål for, hvor smitsom Omikron-varianten reelt er.
Hvis µ er høj nok, er det muligt, at det basale kontakttal for Omikron faktisk er lavere end for Delta-varianten, selvom den spredes mere effektivt. Teoretisk set kan Omikron således godt have et lavere basalt kontakttalt (R0) end Delta, men alligevel overhale Delta simpelthen fordi der er flere Omikron-modtagelige at smitte.
Der er en yderligere mulig kompleksitet, nemlig at hvis smittede med Omikron-varianten hurtigere bliver smitsomme (kortere generationstid), så vil den kunne sprede sig hurtigere i samfundet selv uden at have et større basalt kontakttal end Delta.
Der er med andre ord flere knapper virussen kan dreje på: basalt kontakttal, immun-undvigelse og generationstiden.
