Mundbind, hjemmearbejde, håndsprit.
Der kan være nogle af budene på, hvad der står tilbage, når vi engang skal kigge tilbage på den første tid med COVID-19.
For andre vil det måske være pressemøderne, der står klarest i erindringen. Mange, der så pressemøderne i marts 2020, vil huske den illustration, som sundhedsminister Magnus Heunicke viste for at beskrive grundlaget for den gennemgribende nedlukning, vi stod over for.
Den udprintede figur viste to kurver: En (orange-)rød og en grøn, og illustrationen er blevet vurderet til at være så ikonisk, at den sidenhen er kommet på museum.
Den røde kurve illustrerede et scenarie, hvor COVID-19 ville gøre et hurtigt indtog med et enormt antal smittede indenfor kort tid. Resultatet ville være et overbelastet sygehusvæsen, som på det tidspunkt var virkeligheden i det nordlige Italien.
Den grønne kurve viste et scenarie, hvor epidemien blev strakt ud over en længere periode. Mange ville stadig blive syge og indlagt, men ikke flere end at sygehusene ville være i stand til at følge med.
Det ser simpelt ud. Men bag figuren ligger både historiske erfaringer fra den spanske syge i 1918 og komplicerede, matematiske beregninger, for i starten af 2020 var der rigtig mange ting, vi endnu ikke vidste om COVID-19.
I denne artikel vil jeg forsøge at vise, hvordan man kan bruge matematik til at forudsige en udvikling, selv i situationer, hvor man er nødt til at gætte på mange faktorer.
COVID-hva'-for-noget?
Der var nemlig meget, man ikke vidste om COVID-19 i begyndelsen af pandemien.
Hvor meget smittede den nye corona-virus? Hvor længe var man syg, og kunne man smitte i hele perioden? Hvad var risikoen for at blive indlagt, og hvad var risikoen for, at sygdommen forværredes og i værste fald kunne blive livsfarlig?
\ Om Forskerzonen
Denne artikel er en del af Videnskab.dk’s Forskerzonen, hvor forskerne selv formidler deres forskning, viden og holdninger til et bredt publikum – med hjælp fra redaktionen.
Forskerzonen bliver udgivet takket være støtte fra vores partnere: Lundbeckfonden, Aalborg Universitet, Roskilde Universitet og Syddansk Universitet.
Forskerzonens redaktion prioriterer indholdet og styrer de redaktionelle processer, uafhængigt af partnerne. Læs mere om Forskerzonens mål, visioner og retningslinjer her.
En anden ukendt faktor var, hvor stor effekten af at lukke samfundet ned ville være. Erfaringen fra den spanske syge var, at det i datidens samfund var muligt at strække epidemien ud.
Men hvordan ville lignende tiltag fungere i dag, i et helt andet samfund, 100 år senere?
I en mere forbundet moderne verden er smitteopsporing måske nemmere, men smitten spreder sig også tilsvarende hurtigere.
Dertil kommer, at der i starten ikke var et stort testsystem, og at smittetilfælde uden symptomer (asymptomatiske) ofte forblev uopdaget.
Ville en nedlukning kun minimalt reducere smittespredningen eller ville det helt stoppe sygdommen? I den tidlige fase var forventningen, at restriktionerne højest kunne forsinke sygdommen og begrænse antallet af syge på samme tid.
Matematikken som værktøj
Og så skal vi tilbage til matematikken.
Den røde og den grønne kurve var blandt andet baseret på 100 år gamle historiske observationer fra den spanske syge i henholdsvis Philidelphia og St. Louis i USA.
Læs om baggrunden for figuren i denne artikel fra Videnskab.dk, skrevet i marts 2020.
Men de to kurver er også, hvad man ser i den klassiske matematiske model man kalder SIR-modellen. Forskning i denne matematiske model går tilbage til erfaringerne med den spanske syge i 1918, men er lige så aktuel i dag som dengang.
Grundlaget for SIR-modellen og de matematiske detaljer kan du læse mere om i fakta-boksen til sidst i artiklen. Andre har også tidligere skrevet om, hvordan SIR-modellen kunne bruges til at forstå COVID-19 i marts 2020.
To ting, vi vidste
Hvis man vil beskrive, hvordan en sygdom spreder sig i en befolkning, er SIR-modellen en typisk matematisk model at benytte. Modellen bygger på to centrale idéer:
- Smittede personer kan give sygdommen videre til raske personer
- Efter endt sygdomsforløb er man immun overfor sygdommen og kan derfor ikke kan blive smittet igen
Og det var faktisk noget af det, vi vidste om sygdommen. Det var klart, at COVID-19 var en virus, hvor smittede personer kunne give smitten videre til andre.
Desuden lod de smittede til at være immune efter noget tid, selvom det stadig var uvist, hvor længe immuniteten ville holde. Det var altså netop en slags sygdom, som SIR-modellen var designet til at beskrive.
Man må antage og gætte
Enhver matematisk model bygger på nogle antagelser om, hvordan virkeligheden kan beskrives matematisk og gæt på parameterværdier, der er relevante i modellen.
For COVID-19 kunne et eksempel på en parameter være antallet af dage, man er smitsom, eller hvor mange personer man når at smitte, inden man bliver rask igen. Hvordan disse tal spiller ind på beregninger af SIR-modellen, kan du læse i fakta-boksen sidst i artiklen.
I begyndelsen af pandemien kendte man ikke størrelsen på faktorerne i figur 3. Denne mangel på viden om sygdommen kan komme til udtryk i de forudsigelser, man laver med modellen
Ved at være grundig med at beskrive matematisk, hvor sikker man er på en bestemt parameter, er det muligt at vise, hvor stor betydning en usikkerhed på de enkelte parametre har på modellens resultat.
Man kan eksempelvis vælge nogle tilfældige tal, der ligger tæt på ens bedste gæt på en parameter-værdi.
Det mest sandsynlige interval
En typisk metode er at vælge tal der er normalfordelt om en bestemt værdi. Tal, der er normalfordelt om en værdi, vil nemlig ofte være i nærheden af værdien, og sjældent være langt fra den.
Hver gang man har valgt nogle parameterværdier, simulerer man så modellen og ser, hvad den giver af resultat. For SIR-modellen kunne et eksempel på et resultat være antallet af smittede personer 14 dage efter start.
Efter en hel masse simuleringer er det muligt at sortere resultaterne: Ud af alle simuleringerne er der formentligt et interval af antal smittede, som løsningerne holder sig indenfor.
Ved at frasortere nogle af de løsninger, som er mest anderledes, kan man lave et konfidensinterval. Konfidensintervallet viser det interval, som det er mest sandsynligt, at en modelsimulering ville være inden for.
Selvom det somme tider kan være brugbart kun at vise de værdier, man oftest får (de mest sandsynlige scenarier), så kan konfidensintervaller bruges til at fremhæve, at der stadig er en del usikkerhed i et resultat eller en forudsigelse.
Du kan læse mere om matematisk usikkerhed i vores artikel her.
Prøv selv en simulering
Herunder kan du se en interaktiv figur for en typisk beregning af SIR-modellen. Tryk på knapperne og træk i de forskellige sliders for at ændre på simuleringen. Modellen kan også åbnes i et nyt vindue her.
På figuren kan du vælge, hvilket scenarie og hvilke detaljer, der skal vises. Skal den kun vise det gennemsnitlige scenarie, eller skal der vises konfidensintervaller med animerede eksempler på udviklingen?
Skal der kun vises antallet af nye smittede, eller skal hele SIR-modellens resultat vises?
Du kan også se – og selv justere på - de parameter-værdier der benyttes. Ved at ændre på effekten af nedlukningen kan du styre, hvor meget mindre sygdommen smitter under nedlukning sammenlignet med uden nedlukning.
Du kan også ændre på sygdommen selv: R0 angiver hvor mange hver person i gennemsnit smitter i et uhæmmet udbrud. Jo højere R0, jo mere smitsom er sygdommen.
På samme måde kan du også ændre på, hvor længe man er smitsom: Er man smitsom i længere tid, så kan man nå at smitte flere inden man kommer sig oven på sygdommen.
\ Læs mere
Kan du genskabe figuren?
Hvis du slår tilfældighed eller konfidensintervaller til, kan du under alle tre parametre (effekt af nedlukning, R0 og smitsom periode) indstille, hvor stor spredning eller usikkerhed, der skal være på parameterværdierne.
Er spredningen stor, vil der ofte være tilfældige simuleringer langt fra den gennemsnitlige parameterværdi, men hvis spredningen er lille, vil de tilfældige værdier være tæt på.
Prøv dig selv frem, og se hvordan du kan få meget forskellige resultater ud af modellen.
Kan du eksempelvis få figuren til at ligne den røde og grønne kurve fra pressemødet?
Forestil dig også et scenarie, hvor vi allerede ved alt hvad der er at vide om sygdommen, men ikke ved, hvordan restriktionerne vil virke: Skru ned for usikkerheden på R0 og den smitsomme periode, men op for usikkerheden på effekten af nedlukning.
Hvordan er forskellen på best- og worst-case scenarier for den grønne kurve nu?
God formidling gør en verden til forskel
Matematiske modeller er et af vor tids stærkeste værktøjer til at forstå og forudsige verden omkring os. Dog kan bagvedliggende antagelser og ufuldendt viden om de parametre, der ligger til grund for modellerne gøre det enormt svært at forstå, hvad man får ud af modellerne - selv for matematikprofessorer!
Men en simpel model med usikre forudsigelser kan dog stadig hjælpe os til at tage vigtige beslutninger, som det var tilfældet for nedlukningen af det danske samfund i foråret 2020.
Når et matematisk budskab skal formidles videre til en bred befolkning, kan det være enormt svært at gøre det nemt at forstå.
Ikke kun fordi det for nogens vedkommende er længe siden, de har haft en matematiktime, men mindst ligeså meget fordi grafer, ligninger og matematiske resultater ikke altid giver mening, første gang man ser dem.
Den røde og den grønne kurve fra pressemøderne i foråret 2020 var et forsøg på at skære så meget ind til benet som muligt.
Noget tyder da også på, at vi alle sammen forstod, at vi hellere ville være på en kurve, der var grøn, end en der var rød.
Nedlukningen og vores ændrede adfærd fungerede nemlig så godt i Danmark, at vi rent faktisk skød langt under den grønne kurve, og i første omgang helt afværgede, at størstedelen af befolkningen ville blive smittet.
Det gav os mulighed for det scenarie vi er i nu: I stedet for at de fleste skulle igennem et ubehageligt sygdomsforløb, har vi nu haft mulighed for at blive vaccineret, og på den måde begrænse hvor slemt sygdomsforløb bliver.
På den måde får vi også begrænset, hvor mange der risikerer at blive indlagt - og så COVID-19, så epidemien forhåbentligt snart kan blive noget vi taler om i datid i stedet for nutid.
Rasmus Kristoffer Pedersen er del af PandemiX Centeret, Roskilde Universitet. Dér arbejder de med at undersøge, hvordan historiske epidemier og biologisk viden kan benyttes til at gøre os klogere på fortidens, nutidens og ikke mindst fremtidens sygdomsudbrud.
Centeret er ledet af professor Lone Simonsen. Se mere på ruc.dk/pandemix.
\ Matematiske modeller af sygdomsspredning
Når man ønsker at benytte matematik til at beskrive hvordan en sygdom udvikler sig, er SIR-modellen et godt udgangspunkt. I denne fakta-boks beskrives de idéer, der leder til modellen og hvordan den beskrives matematisk.
I modellen holder man styr på antallet af personer i tre forskellige stadier, hvorfra navnet SIR kommer: Der er personer der er modtagelige (Engelsk: Susceptible), der er inficerede (Engelsk: Infected), og endeligt personer der er immune, typisk efter at være kommet sig oven på en infektion (Engelsk: Recovered).
Den grundlæggende idé er at man holder styr på antallet af personer i hver gruppe og beskriver, hvordan antallet udvikler sig.
Almindeligvis formuleres modellen som et koblet system af differentialligninger hvori man beskriver, hvordan antallet i hver gruppe ændrer sig som tiden går. En løsning af det matematiske system giver så en idé om, hvordan antallet af modtagelige, inficerede og immune tænkes af udvikle sig.
Løsningen af systemet skal dog ses som en gennemsnitsbetragtning, hvor der ikke tages højde enkeltstående begivenheder, der for eksempel kunne give pludselige spring i antallet af inficerede.
Netop de to koncepter vi så i figur 2, videregivning af smitte og begrænset smitteperiode, er nøglen til hvordan modellen formuleres.
Smitten kan videregives fra en inficeret til en modtagelig, når disse mødes. For at holde det simpelt, samler man forskellige aspekter som smitsomheden af sygdommen og hvor meget folk mødes i én parameter, der typisk kaldes β (det græske bogstav beta).
Hvis de modtagelige kaldes S, de inficerede I og de immune R, så beskriver udtrykket:
| (S⋅I) |
| (S+I+R) |
sandsynligheden for at når to personer mødes, så er den ene modtagelig og den anden er inficeret. Den rate hvorved modtagelige bliver inficerede skrives derfor:
| β | (S⋅I) |
| N |
| N = S+I+R |
Den periode hvor en person gennemsnitligt er inficeret før de kommer sig er den anden vigtige del af modellen. Her benyttes det græske bogstav gamma, γ, typisk. Hvis man i gennemsnit er smitsom i eksempelvis 7 dage, så kan dette beskrives ved at man hver dag rykker 1/7 af de inficerede videre til gruppen af immune. For nemheds skyld defineres γ denne brøk, sådan at 1/γ beskriver antallet af dage man i gennemsnit er smitsom.
Ændringen i antallet af inficerede er derfor γ ⋅ I, hvilket samtidigt beskriver hvor mange nye immune der opstår.
Sættes disse to koncepter sammen får vi den grundlæggende formulering af SIR-modellen:
| dS |
| dt |
| SI |
| N |
| dI |
| dt |
| SI | - γI |
| N |
| dR |
| dt |
| = γI |
De tre ligninger beskriver hvordan tre funktioner, henholdsvis S(t), I(t) og R(t), ændrer sig over tid.
En løsning til systemet er en samling af funktioner for S(t), I(t) og R(t) hvor differentialligningerne er overholdt til alle tidspunkter. Heldigvis findes der forskellige metoder til at finde sådanne funktioner, og med computerberegninger kan det lade sig gøre at beregne disse hurtigt og effektivt, hvis blot man kender S, I og R i starten af beregningen. Og dette kan faktisk gøres så hurtigt at beregningerne i den interaktive figur i artiklen bliver løst direkte i den computerbrowser, mens du har læst denne artikel.
SIR-modellen er blot et eksempel på en matematisk model der kan beskrive sygdomsdynamik i en befolkning. Selvom modellen kun består af de to koncepter her, så har den vist sig at være brugbar til at forudsige eksempelvis mæslingeepidemier eller mål for, hvornår en sygdom dør ud af sig selv.
Ønskes mere nuancerede og udvidede indblik i en sygdoms udvikling, så findes der desuden også andre formuleringer og udvidelser af SIR modellen, der tager højde for eksempelvis latensperioder, begrænset immunitet eller virusvarianter.
Hvornår én model er bedre at benytte end en anden er dog ikke altid nemt at sige, og det er derfor vigtigt at den model man benytter til et givent spørgsmål er valgt med omhu.
