Denne udvidede faktaboks er tiltænkt den ekstra interesserede læser - herunder eksempelvis dig, der har matematik i gymnasiet, handelsskolen eller HTX. Eller dig, der bare gerne vil forstå ting i detaljen. 

Hvis du slet ikke har beskæftiget dig med matematik de seneste 20 år, kan der være visse passager, der er udfordrende, men vi tilstræbt, at man kan forstå pointerne, selvom man måske ikke helt kan forstå en ligning eller to undervejs. 

I den interaktive figur, vi har vist i denne artikel, benyttede vi en matematisk model, der var baseret på et relativt simpelt grundlag. 

Det er vigtigt at bemærke at denne model er simplificeret og ikke er af samme detaljegrad, som de matematiske modeller som Statens Serums Institut benytter i deres udregninger. 

Denne model er altså derfor ikke et alternativ til mere komplicerede og detaljerede modeller, men i stedet en simplificeret måde at anskue nogle af de samme problemer. Du kan finde en detaljeret beskrivelse af det matematiske grundlag bag vores model i dette dokument. 

I det interaktive figur er antallet af nye smittede per dag sat til altid at vokse eller falde eksponentielt, baseret på en enkelt parameter, nemlig kontakttallet, Re.

Denne måde at regne antallet af nye smittede per dag er i princippet omvendt af, hvordan man normalt bruger kontakttallet: Kontakttallet er nemlig beregnet ud fra antallet af nye smittede. 

I praksis betyder dette at vi går ud fra at restriktionerne, danskernes opførsel og smittetallet ikke ændrer sig fra uge til uge, men i stedet forbliver uændret. 

Det er en simplificering, som ikke passer 1:1 med virkeligheden, hvor der altid vil være udsving i den ene eller anden retning. Men simplificeringen kan hjælpe os med at forstå, hvordan smittetallet vil stige eller falde.

Sådan har vi gjort

Advarsel, de næste par to afsnit bliver lidt mere matematik tekniske. I den matematiske model vi bruger, har vi splittet B117 op fra den normale coronavirus, også kalder 'wildtype' (WT) coronavirus. 

Vi har på forhånd regnet et eksponentielt faldende antal nye smittede ud, frem til uge 1. Efter uge 1 er antallet af nye smittede med normal coronavirus beskrevet ved følgende ligning:

I_WT(t) = I_WT,0 * e^(r_WT*t), hvor I_WT(t) beskriver antallet at nye smittede med almindelig coronavirus, I_WT,0 er antallet af nye smittede i uge 1, r_WT  er en parameter, der beskriver væksten af nye smittede, og som afhænger af kontakttallet R_WT * t er antallet af uger siden uge 1 og e ≈​ 2.72 er Eulers tal, et særligt tal der bruges til denne type eksponentiel udvikling.

Kontakttallet for den normale coronavirus, R_WT, er det, der styres med den venstre slider i den interaktive figur.

For B117-varienten regnes på nøjagtigt samme måde, med den forskel at kontakttallet er forøget med den faktor, som bestemmes med den højre slider i den interaktive figur. 

Med andre ord er antallet af nye smittede, der er blevet smittet med B117 udregnet med følgende ligning: I_B117(t) = I_B117,0 * e^{(r_B117 * t)}, hvor I_B117(t) er antallet af nye smittede med B117, I_B117,0 er antallet at nye smittede med B117 i uge 1 og r_B117 er en parameter der beskriver væksten af B117, og som afhænger af B117’s kontakttal, R_B117.

For at bestemme de to parametre, r_WT og r_B117, benyttes generationstiden, skrevet T_g, hvilket er den tid, der i gennemsnit går fra, man selv bliver syg, til man giver smitten videre. De to parametre er så udregnet som r_WT = (R_WT-1) / T_gog r_B117 = (R_B117-1) / T_g. 

I vores udregninger har vi brugt T_g = 4,7dage = 0,67 uge, som er det samme som Statens Serum Institut benytter i deres modeller.

En mutant som B117-varianten, som har et højere kontakttal, R_B117 > R_WT, vil over tid blive den dominerende variant, som myndighederne har understreget de seneste uger. 

Dette kan ses ved iagttage et sygdomsforløb for en population gennem forskellige linser, en epidemiologisk og en evolutionær. Lad os først se det gennem den epidemiologiske linse.

Andelen af B117 går mod 100 procent

Hvis kontakttallet erR_e forventer vi, at der bliver inficeret R_e nye personer for hver enkelt smittet person, når populationen består af hovedsageligt ikke-immune personer. 

Så hvis en variant som B117 har et kontakttal, som er ca. 55 procent højere end den 'normale' variant, vil forholdet imellem, hvor mange personer som bliver smittet i næste generation af smittede, være:

=

Faktor 1,5 er den relative mængde af B117-tilfælde i forhold til tilfælde tilskrevet den 'normale' variant. Vi kan vi se, at for den n’te generation (altså x i 2., 3., 4., 5. generation) vil denne andel være xⁿ. 

Og da x > 1 vil denne andel (relativt) gå mod uendelig. Dette betyder i praksis, at andelen af B117 vil vokse, og andelen af normal coronavirus vil falde, og at B117 i sidste ende vil udgøre 100 procent af alle tilfælde.

Sagt på jævnt dansk: Med tiden vil B117's andel af smittetilfældene udkonkurrere den 'normale' variant, fordi den smitter ca. 55 procent mere. 

B117 er bedre tilpasset til at overleve

Man kan også anskue et sygdomsforløb for en population rent evolutionært. Indtoget af B117 er nemlig et eksempel på evolution, som foregår lige for øjnene af os. 

Set i det perspektiv er der tale om to genotyper af SARS-CoV-II-virusset, hvor den ene type, B117, har højere fitness, dvs. er bedre tilpasset, end den wildtype, vi har levet med de seneste 10,5 måneder.

I denne optik er R_e stadig det forventede antal nye smittede personer, hver smittet person genererer i næste generation.

Det betyder dermed, at R_e er et mål for darwinistisk fitness eller genetisk dominans. Den variant med den højeste R_e vil over tid generere det største antal af genetiske efterfølgere. 

En virus med et højt kontakttal (B117) har en bedre fitness end én virus med et lavere kontakttal (wildtype). Den er, qua sin højere smitsomhed, slet og ret bedre tilpasset til at overleve og fordrive den anden variant fra populationen. 

Den pointe er en af de vigtigste grunde til, at man i epidemiologi arbejder med kontakttallet.

Hvis vi skal forsøge at beskrive det matematisk, kan andelen af positive prøver som er af type B117 opfattes som genhyppigheden p af B117-genotype, mens det observerede kontakttal svarer til den gennemsnitlige fitness af populationen.

Omend detaljerne er en smule tekniske, så kan man matematisk vise, at det observerede kontakttal kan regnes som R_e = R_{WT *} (1 - p) + R_B117 * p, hvor R_WT og R_B117 er kontakttallene for de to varianter. På den måde kan man nemt udregne det effektive (eller observede) kontakttal. 

I vores interaktive grafik kalder vi det ‘effektiv’, og kontakttallet vises i turkisgrøn.

Uanset gennem hvilken linse man iagttager processen, vil B117 helt udkonkurrere den almindelige variant over tid.

B117 gør det svært at holde kontakttallet under 1

Antagelsen om eksponentiel udvikling for smittetilfælde er alene nok til, at man kan vise, at den dominerende variant vil være den med det største kontakttal, og at andelen af den dominerende variant over tid, vil opføre sig logistisk (dvs. der er en øvre grænse for væksten, her en andel på 100 procent), og dermed vil udkonkurrere varianten med det lavere kontakttal.

En konsekvens af denne dominans af B117, betyder dog også, at selvom der ingen ændringer kommer i restriktionerne, bliver det effektive kontakttal med tiden kontakttallet for B117-varianten i stedet for kontakttallet for wildtype-varianten. 

Denne dominans af B117 vil ske i alle scenarier, hvor B117’s kontakttal er større end wildtype. Uanset om det absolutte antal inficerede er stigende eller faldende. 

Dette understreger igen vigtigheden i at fastholde indsatsen for et stadigt lavere kontakttal, da det ‘albuerum’ vi havde med den gamle variant, er blevet mindre. 

B117 gør det slet og ret markant sværere at få det effektive kontakttal under 1 og dermed undgå en eksponentiel stigning i antallet af smittede. 

De detaljerede udregninger til vores model, kan du finde på dette link.