Matematik er ikke som de andre naturvidenskaber.
Når man i fysik eller kemi opnår viden, gør man det ved at undersøge verden ved hjælp af forsøg og observationer.
I matematik derimod, opnår man viden ved at tænke sig om.
Vil en matematiker vide, hvad trekantens vinkelsum er, sætter hun sig ned og laver et bevis. Hun kunne aldrig finde på, at gå ud og måle på faktiske trekanter.
Matematikken er med andre ord en fornuftsdisciplin, og står dermed i modsætning til fysik og kemi, der er empiriske videnskaber. Det forbavsende er nu, at matematikken faktisk kan bruges til at beskrive virkeligheden på præcis samme måde som fysik og kemi.
Men hvordan kan det være, at matematisk viden, som vi har opnået bare ved at sidde ved skrivebordet og tænke os om, passer på den fysiske virkelighed?
Verden er matematisk
Et oplagt og klassisk svar på spørgsmålet er, at den fysiske virkelighed simpelthen grundlæggende er matematisk. Det svar finder man for eksempel hos Galileo Galilei (1564-1642), der forklarede, at Naturens bog »er skrevet i det matematiske sprog, og symbolerne er trekanter, cirkler og andre geometriske figurer, uden hvis hjælp det er umuligt at forstå et eneste ord« (citeret efter Troelsen (2008, s. 73)). Virkeligheden er altså grundlæggende matematisk, og for at kunne forstå den, må man kunne matematik!
Men hvorfor er virkeligheden matematisk? Her er det åbenlyse svar, som blandt andet Galilei og en række andre tænkere har givet, at virkeligheden er matematisk, fordi den er blevet skabt af en stor matematiker, nemlig Gud.
Dette er ligefrem blevet brugt som et bevis på, at Gud eksisterer. For hvis ikke verden er blevet skabt af et intelligent væsen, hvordan kan det så være, at den er så velordnet og pænt matematisk struktureret, som den er? Så der er altså noget på spil i spørgsmålet om matematikkens anvendelighed!
Matematik er en empirisk videnskab
Der findes imidlertid en række alternative forklaringer på det forbavsende match mellem matematik og virkelighed. En af dem er, at matematik simpelthen er en naturvidenskab, der tager udgangspunkt i virkeligheden på præcis samme måde som fysik og kemi.
Det synspunkt blev for eksempel hævdet af den britiske empirist John Stuart Mill (1806-1873). Mill mente ganske simpelt, at matematisk viden er opnået ved at generalisere ud fra vores erfaringer.
Vores viden om, at 2+2 = 4 stammer altså ikke fra et langt logisk bevis, vi kan tænke os frem til, men tværtimod vore generelle erfaring af, at to appelsiner og to appelsiner nu engang tilsammen er fire appelsiner.
Ingen rette linjer uden bredde
Problemet med den forklaring er, at matematikken tilsyneladende rummer en masse objekter, som vi umuligt kan erfare med vores sanser. I matematikken regner man for eksempel med, at der findes uendelig mange tal. Men eftersom Universet er endeligt, findes der simpelthen ikke uendelig mange objekter i det.
I matematikken beskæftiger man sig desuden med objekter som perfekt rette linjer, der ikke har nogen bredde, selv om al vores erfaring siger os, at enhver linje vil have en eller anden form for bredde, og at ingen linjer er perfekt rette.
Det virker simpelthen som om de matematiske objekter er af en anden karakter, end de objekter vi erfarer i den fysiske virkelighed. Og derfor er det problematisk et hævde, at matematisk viden er opnået ved at generalisere ud fra vores erfaringer.
Matematik og Darwin
Inden for de sidste par årtier er en ny forklaring på matematikkens brugbarhed spiret frem blandt matematikfilosofferne. Forklaringen går i korthed ud på, at vores evner til at lave matematik er blevet formet gennem en evolutionær udvælgelsesproces.
I den evolutionære kamp for overlevelse, har det simpelthen givet pote at kunne noget matematik, der effektivt beskriver virkeligheden. Og derfor er det ikke nogen gåde, at matematik kan anvendes. Matematikken passer på verden af præcis samme grund som vores lunger passer til Jordens atmosfære; hvis den ikke gjorde, ville vi ganske simpelt ikke være her.
Kan ikke forklare avanceret matematik
Denne evolutionære forklaring støttes af, at en lang række dyr faktisk har begrænsede anlæg for matematik. Visse vilde aber ved for eksempel spontant (det vil sige uden at være trænet til det), at to fødeemner plus to fødeemner tilsammen giver fire fødeemner. Og de ved, at det er smartest at vælge 2+2 fødeemner frem for 2+1 fødeemne.
Spædbørn lader også til at være født med lignende evner, så tilsyneladende er en kerne af vores matematiske viden simpelthen medfødt og skabt gennem den evolutionære udvælgelsesproces.
Problemet med den evolutionære forklaring er, at den har meget svært at forklare den mere avancerede matematik. Dels er langt det meste af den matematik, vi har i dag, udviklet i løbet af de sidste få tusinde år (hvilket kun er et øjeblik i evolutionsbiologisk sammenhæng), og dels er det kun meget lidt af den avancerede matematik, der giver matematikeren en egentlig overlevelsesfordel.
Det giver ikke nogen mening at hævde, at moderne matematikere er i stand til at løse differentialligninger, fordi det at kunne løse differentialligninger har givet dem en fordel i den naturlige selektion.
Matematikkens metaforer
Lingivisten George Lakoff og kognitionsforskeren Rafael Nùñez kom i år 2000 med en interessant og forfriskende anderledes forklaring på, at også den avancerede matematik kan anvendes i praksis.
Ifølge de to herrer er menneskets erkendelse i forbavsende stor og til dels overset grad bygget op om analogier til basale hverdagserfaringer. Siger vi for eksempel, at ‘tiden løber’ eller at man kan ‘spare 10 minutter ved at tage en smutvej’, benytter vi ubevidst en analogi, hvor det uhåndgribelige fænomen tid, sammenlignes med vores velkendte og hverdagsagtige omgang med ressourser som vand eller penge.
Rent sprogligt giver den slags analogier sig til kende i metaforer – tiden ‘løber’ ikke bogstaveligt talt som en vandhane, det gør den kun metaforisk set.
Bunker af fysiske objekter
Kigger man efter, vil man se, at matematikken er propfyldt med lignende metaforer. Og Lakoff og Nùñez hævder, at disse metaforer dækker over kognitivt betydningsfulde analogier, vi ubevidst drager mellem matematikken og konkrete erfaringer.
Når vi for eksempel siger, at ‘4 er større end 3’ eller taler om at ‘lægge 2 og 2 sammen’, taler vi om tallene som de var bunker af fysiske objekter. Ifølge Lakoff og Nùñez skyldes det, at vi fra barns ben naturligt danner en analogi mellem den medfødte kerne af matematik og håndtering af objekter. De to fænomener har simpelthen samme struktur.
Den medfødte matematik er som nævnt ovenfor desværre ret begrænset – man regner med, at den sådan cirka omfatter tallene fra 1 til 4. Men når analogien mellem tal og objekter en gang er etableret, kan vi bruge den til at udvide den medfødte matematik. Når jeg lægger bunker sammen, ved jeg for eksempel, at rækkefølgen er underordnet.
Overføres dette til matematikken, får jeg den associative lov for addition (a+b = b+a). Jeg ved også, at der altid kommer en ny bunke ud af det, når jeg lægger to bunker sammen. Når den erfaring overføres til matematikken, får jeg, at der må være uendelig mange tal.
Matematikken bygger på virkeligheden
Også mere avancerede dele af matematikken opbygges fra en blanding af kendt matematik og erfaringer fra virkeligheden. For eksempel taler man om, at en funktion ‘nærmer sig 1’ eller ‘oscillerer om 0’.
Strengt taget kan funktioner hverken nærme sig eller oscillere, men her bruger vi konkrete erfaringer med bevægelse til at få hånd om de abstrakte matematiske objekter. Så alt i alt konstrueres hele matematikken fra grunden ud fra en lille kerne af medfødt matematik og analogier til lokale erfaringer af fysiske virkelighed.
Hvis denne teori holder vand, giver den naturligvis en glimrende forklaring på, hvorfor matematikken kan anvendes på virkeligheden. Det kan den, fordi matematikken basalt set bygger på vores erfaringer af lokale strukturer i virkeligheden.
Matematikken og naturvidenskaben
Lakoff og Nùñez’ teori er blevet kritiseret fra flere sider, blandt andet fordi deres teori ikke tager højde for det oplagte samarbejde, der har været mellem matematik og naturvidenskab. Dette samarbejde kan til gengæld bidrage til at forstå matematikkens forbavsende anvendelighed, så vi skal bestemt ikke overse det her!
Der har nemlig (navnlig) siden det naturvidenskabelige gennembrud i 1600-tallet været en tæt kontakt mellem matematik og naturvidenskab. På den ene side har naturvidenskaben påvirket hvilke områder, matematikken skulle udvikle teorier for (udviklingen af differential- og integralregningen er her et godt eksempel), og på den anden side har naturvidenskaben valgt at beskæftige sig med præcis de områder af virkeligheden, det var muligt at beskrive med den givne matematik.
Det er ikke uden grund, at Newton valgte at fokusere på æblets, og ikke et blads fald: Æblets pæne bane kan (med tilnærmelse) beskrives matematisk, mens bladets kaotisk og uforudsigelige bane ikke kan.
Er Gud en genial matematiker?
Disse gensidige påvirkninger mellem matematik og naturvidenskab leverer naturligvis nok en brik til forklaringen på, hvorfor matematikken kan anvendes til at beskrive virkeligheden.
Så der findes altså en række alternative forklaringer på matematikkens forbavsende anvendelighed. Spørgsmålet er så, om de er tilstrækkeligt gode, eller om vi stadig er nødt til at forudsætte, at verden er skabt af en matematikelskende Gud.
Jeg vil ikke give det endelige svar her, men åbne for diskussionen – og i øvrigt anbefale foredragsrækken Er Gud en genial matematiker?, der kører på Aarhus Universitet hele dette forår.
Denne artikel er oprindeligt publiceret som et blogindlæg.
