Igennem årtusinder har matematik udgjort et vigtigt fundament for den menneskelige kultur, og en række afgørende gennembrud i civilisationens historie er knyttet til udviklingen af matematiske ideer.
I tidlige kulturer inspirerede behovet for at tælle og måle udviklingen af forskellige talsystemer, og allerede omkring 1800 f.v.t. fandt babylonske matematikere metoder til at løse ligninger mellem tal.
Disse metoder blev over tid videreudviklet og indarbejdet i den matematiske disciplin 'algebra', som bl.a. omfatter løsning af ligninger med abstrakte symboler.
Lidt overraskende måske blev vores nuværende talsystem først fuldt udviklet kort før 1900.
Den matematiske disciplin 'geometri' udsprang af et behov for landmåling i det gamle Egypten og blev solidt funderet af græske matematikere omkring 300 f.v.t. i de berømte Euklids elementer.
Under sin eftersøgning af dynamiske beskrivelser af mekaniske naturfænomener grundlagde fysikeren Isaac Newton i slutningen af 1600-tallet den tredje klassiske matematiske disciplin 'analyse'.
\ Læs mere
Matematik styrer samfundet
I vore dage baserer, ikke bare mange videnskaber, men samfundslivet i almindelighed, sig i stigende grad på anvendelser af matematiske modeller og anvendte matematiske discipliner som 'statistik, numerisk analyse og operationsanalyse'.
I takt med udviklingen af stadig kraftigere computere er mulighederne blevet stærkt øget for at udføre omfattende numeriske beregninger i realistiske matematiske modeller af fænomener fra den virkelige verden.
Mange nye matematiske opdagelser er knyttet til konstruktionen af trinvise procedurer ('algoritmer') til computeren og til spørgsmål vedrørende sikkerhed omkring elektronisk lagring og overførsel af information.
- Et højt niveau i de tekniske videnskaber afhænger af omfattende anvendelser af matematiske metoder fra alle matematiske discipliner.
- I de medicinske videnskaber er statistiske metoder afgørende i forbindelse med håndtering af store datamængder.
- I økonomi bliver avancerede matematiske metoder ofte brugt, for eksempel i finansieringsteori, som er et emne af stor nutidig interesse. Nobelprisen i økonomi er flere gange blevet tildelt som anerkendelse af opdagelser med et stærkt matematisk indhold.
Viser sig i naturens mange underværker
Lad os åbne døren til matematikkens uendelige univers.
Matematikken har permanent bolig i de former, der viser sig i naturens mange underværker.
Ser man den underliggende matematiske struktur, har man adgang til matematikkens slagkraftige universelle metoder, der kædes sammen af abstraktionens overblik.
For matematikkens styrke ligger gemt i samspillet mellem det konkrete og det abstrakte.
Eksponentiel vækst og den logaritmiske spiral
De fleste mennesker har beundret de smukke skalkonstruktioner, man finder hos snegle og skaldyr.
Spiralkurven i en sådan skal er fra et matematisk synspunkt en såkaldt 'logaritmisk spiral', og den er et fredeligt og smukt eksempel på 'eksponentiel vækst'.
En særlig smuk logaritmisk spiral finder man i huset fra en primitiv blæksprutte kaldet 'Nautilus'.
Formen på en logaritmisk spiral bevares ved en vilkårlig op- eller nedskalering. Det er denne høje grad af selvsimilaritet, der gør det muligt at fede en logaritmisk spiral op til en pølse med eksponentielt voksende tykkelse, så pølsen kan vindes op i en rumlig figur hvor ydersiden af hvert lag præcist lægger sig op af indersiden på det næste lag.
Derved frembringes en rumlig figur, som ligner skallen på en Nautilus.
\ Book et gratis foredrag om matematik i verden
Vagn Lundsgaard Hansen er med i 'Bestil en Forsker'-ordningen - en del af Forskningens Døgn - og kan til og med 3. april bookes gratis til at holde et foredrag mellem 20.-26. april. Det tilbud gælder også for de øvrige forskere i ordningen.
Foredragets titel er: ’En verden af matematik’ Book ham her.
Computermodel af en Nautilus-skal
Hvis man forstår konstruktionen, kan man frembringe en meget livagtig Nautilus-skal på en computer.
Omkring 1990 foreslog jeg en ny matematisk model for en Nautilus-skal, som jeg udviklede i detaljer i 2002.
I min computermodel af en Nautilus-skal har jeg observeret og korrekt etableret en ofte fremsat påstand om en forbindelse mellem den logaritmiske spiral og Det Gyldne Snit.
Der er andre mere fredelige spiraler, som for eksempel vindingen i en chokoladeroulade, hvor der bliver lagt lige meget til i hver vinding.
Denne spiral er en såkaldt 'Archimedisk spiral'. Det menes, at den blev benyttet af Archimedes (287 - 212 f.v.t.), som et supplerende hjælpemiddel til passer og lineal, til at konstruere et kvadrat med samme areal som en foreskrevet cirkel.
Først konstruerer edderkoppen en femkantet ramme af tråde fæstnet til faste punkter i omgivelserne.
I denne femkantede ramme konstruerer den på genial vis et hjul af tråde fra et centrum i spindet ud til rammen.
Dette hjul af tråde holdes midlertidigt sammen af en ikke-klæbende logaritmisk spiral konstrueret ved at arbejde sig ud fra centrum til rammen af spindet.
Endelig arbejder edderkoppen sig tilbage til centrum langs en klæbende Archimedisk spiral, mens den spiser den logaritmiske spiral brugt under konstruktionen.
Geometriske former i ingeniørkunst og arkitektur
En homogen kæde, som er frit ophængt og kun påvirket af tyngdekraften, beskriver en såkaldt 'kædelinje'.
Denne kurveform minder meget om en 'parabel', som er den kurveform man møder i banen for et projektil eller i en vandstråle.
Selvom de minder om hinanden, er de to kurveformer kædelinje og parabel ret forskellige.
En interessant ting ses i ophængningskablerne på Storebæltsbroen. Kablerne er ikke alene påvirket af tyngdekraften, men er også påvirket af en homogent fordelt vertikal kraft forårsaget af broens tyngde.
Det kan derfor matematisk bevises at ophængningskablerne vil følge en parabel, og ikke – som man umiddelbart skulle tro – en kædelinje.
\ Læs mere
Minimalfladernes formidable effektivitet
En 'minimalflade' er en flade, der på alle tilstrækkeligt små stykker af fladen udspænder det mindst mulige areal i randkurven af fladestykket.
Fysisk set er en flade en minimalflade, når den på tilstrækkeligt små fladestykker følger formen af en sæbehinde udspændt i randkurven.
Matematiske studier af minimalflader har en lang historie med Leonhard Euler (1707-1783) som en af de tidlige pionerer.
Ved at dreje en kædelinje omkring en passende akse fremkommer en såkaldt 'katenoide'. Euler viste i 1740'erne at katenoiden er en minimalflade.
Netop fordi minimalflader lokalt minimerer arealet, opfylder de naturens ubønhørlige krav til effektivitet, og det gør dem ekstra stærke og stabile.
Det er derfor indlysende, at de har stor interesse for bygningsingeniører.
Minimalflader har også inspireret til elegante anvendelser i arkitektur, som det bl.a. er manifest i arbejder af den berømte tyske arkitekt Frei Otto, som har udnyttet modeller af minimalflader ved undfangelsen af flere ideer til letvægtskonstruktioner af tage.
Dette gælder således hans udnyttelse af sæbefilmsgeometrien i periodiske minimalflader, som han brugte ved opførelsen af den tyske pavillon ved verdensudstillingen i Montréal i 1967 og i tagkonstruktionen på det olympiske stadion i München ved olympiaden i 1972.
Rundetårns sneglegang
En rumkurve på en cylinder, som skruer sig op langs cylinderen under en konstant vinkel, kaldes en 'skruelinje', eller en 'helix'.
I arkitekturen optræder skruelinjer i gelændere i spindeltrapper (ingen indre cylinder) og vindeltrapper (en indre cylinder).
Når trinnene udglattes i en spindeltrappe, eller en vindeltrappe, fremkommer en såkaldt 'vindelflade', som er den pragtfulde fladeform man eksempelvis finder i Rundetårns sneglegang.
En vindelflade kan således fejes ud af en ret linje der skruer sig op langs en akse; og dog er fladen indlysende krum!
Vindelfladen er også en minimalflade. Fra egenskaber ved krumning følger det at en minimalflade, altså specielt Rundetårns sneglegang, på små stykker ligner en sadelformet flade.
Dette er endog mere overraskende og kan næppe begribes med vores sædvanlige sanser.
Man kommer let til at tænke på matematikken som en sjette sans.
\ Læs mere
Hvis man en aften i skumringen går tur langs søerne i København, kan man få et betagende syn af Planetariet – opkaldt efter den berømte danske astronom Tycho Brahe.
I Planetariet ser vi en afskåret cylinder, og den kurveform, der kommer frem i taget, er en såkaldt 'ellipse'.
Det ligner en tanke, for da Kepler (1571-1630) i begyndelsen af 1600-tallet fremlagde de endegyldige love for planetbevægelserne, siger den første lov, at planeterne bevæger sig i ellipseformede baner omkring solen.
Planetariet åbner således mod universet med netop den kurveform, der karakteriserer planeternes bevægelser.
Det er tid nu at afslutte denne ekskursion ind i matematikkens verden.
Hvis turen har efterladt det indtryk at der er matematik overalt, er det næppe tilfældigt.
