Regning med infinitesimaler ser dagens lys

I anden halvdel af det syttende århundrede så en ny matematisk disciplin dagens lys. Den blev delvis udviklet med henblik på at beregne størrelser knyttet til geometriske figurer og delvis, og måske af størst betydning for naturvidenskaberne, til at beskrive forandringer i størrelser.

De nye metoder, der blev udviklet, danner grundlaget for den matematiske disciplin infinitesimalregning, som i vore dage er en obligatorisk del af læseplanerne i adskillige videregående uddannelser. I et videre perspektiv blev metoderne vigtige redskaber i en ny hovedgren af matematikken: matematisk analyse. Fremkomsten af en regning med infinitesimale størrelser er nært knyttet til arbejde af Isaac Newton i England og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) i Tyskland.

Mange matematikere udviklede samtidigt metoder til at bestemme arealer, volumener og tyngdepunkter for flere geometriske figurer end dem, grækerne havde kunnet håndtere.

En karakteristisk egenskab for alle disse metoder kan eksemplificeres ved metoden brugt til at udregne et areal, nemlig ved at betragte arealet som en sum af uendeligt mange linjestykker (udelelige objekter) eller uendeligt mange uendeligt tynde rektangler (infinitesimale objekter). Disse idéer var i konflikt med det græske ideal om eksakt verifikation uden brug af uendeligheder.

De fleste af de førende matematikere på den tid fandt det dog acceptabelt, at metoderne blev brugt til at eftervise nye resultater. Nogle få af dem så også sammenhængen mellem bestemmelse af tangenter og arealer, i særdeleshed den italienske matematiker Evangelista Torricelli (1608-47) og den engelske matematiker Isaac Barrow (1630-77). Sammenhængen blev imidlertid først fuldt afklaret i arbejde af Newton om 'fluxions og fluents' omkring 1666 og arbejde af Leibniz om 'differentialer, maksima og minima' omkring 1675 (publiceret 1684), hvor det blev påvist, at differentiation og integration er inverse processer.

Ved deres regning med infinitesimaler lagde Newton og Leibniz grunden til to metoder til beregninger, som i mange situationer tillod en automatisk og uniform behandling af spørgsmål om tangenter og arealer. Den gav også en metode til at løse en ny type af ligninger, nemlig differentialligninger, som forbinder funktioner og deres afledede. Differentialligninger blev først eksplicit formuleret i 1690'erne.

Matematisk analyse vokser frem

Igennem det attende århundrede blev infinitesimalregningen konsolideret og yderligere udbygget med nye discipliner som variationsregning, differentialligninger (både sædvanlige og partielle) og uendelige rækker. Med denne udvidelse af området voksede matematisk analyse frem som den tredje hovedgren af ren matematik ved siden af algebra og geometri.

Analysen blev udviklet i tæt samspil med anvendelser især inden for astronomi og mekanik. Hovedpersonerne i denne udvikling var brødrene Jakob Bernoulli (1654-1705) og Johann Bernoulli (1667-1748) samt Leonhard Euler (1707-83), alle født i Basel i Schweiz. Desuden de franske matematikere Jean Le Rond d'Alembert (1717-83), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) og Pierre-Simon Laplace (1749-1827).

Leonhard Euler fortjener i særlig grad omtale. Han underviste i St. Petersborg og Berlin og er sandsynligvis alle tiders mest produktive matematiker. Ved at bruge funktionsbegrebet omformulerede han infinitesimalregningen, og han gav væsentlige bidrag til talteori, teorien for differentialligninger, geometrien af flader og adskillige andre matematiske emner.

Det var Euler, som indførte notationen for mange af de grundlæggende matematiske enheder og symboler i infinitesimalregningen: grundtallet e for eksponentialfunktionen, den imaginære enhed i for de komplekse tal, tegnet Σ for summation og symbolet f(x) for en funktion af x.

Euler forbandt i ligningen

eiθ = cos(θ) + i sin(θ)

eksponentialfunktionen med de trigonometriske funktioner, og hans navn er knyttet til den berømte og smukke formel

eiπ + 1 = 0

, der forbinder matematikkens grundlæggende enheder. Han er også kendt for Eulers polyedersætning: Den alternerende sum af antallene af hjørner, kanter og sideflader på et konvekst polyeder er altid lig med 2. Eulers artikel om dette emne fra 1750 bliver anset som fødslen af den matematiske disciplin topologi.

Før 1700 blev ren matematik som regel dyrket som en fritidsinteresse. Efter dette tidspunkt fandt folk, som arbejdede med videregående matematik, næsten altid ansættelse i akademier og fra omkring 1800 ved universiteter. I det attende århundrede var akademierne i Paris, Berlin og St. Petersborg de mest prominente. Fra slutningen af det tyvende århundrede blev et stigende antal af matematikere rekrutteret til forskningslaboratorier ved store selskaber.

Foruden bidragene til den matematiske analyse bød det attende århundrede på vigtige bidrag til sandsynlighedsteori af Jakob Bernoulli og Abraham de Moivre (1667-1754) og til talteori af Euler og Lagrange; sidstnævnte lagde også grunden til en teori om løsninger til ligninger.

Abstrakte matematiske strukturer viser deres gennemslagskraft

I det nittende århundrede gennemgik matematik en periode med vægt på systematisering og formalisering af matematiske idéer og begreber. Efter de foregående århundreders hurtige fremskridt i udviklingen af nye matematiske redskaber i forbindelse med anvendelser inden for naturvidenskaberne var tiden blevet moden til mere grundlæggende arbejde i matematik. Det blev tiden for matematisk abstraktion, og gennemslagskraften i abstrakt matematik viste sig snart.

Lagranges arbejde om algebraiske ligninger blev stærkt udvidet af den norske matematiker Niels Henrik Abel (1802-29). De matematiske idéer af Abel og den franske matematiker Evariste Galois (1811-32) markerer et vendepunkt i abstrakt matematik. Abel opfandt revolutionerende nye metoder i algebra til sit berømte bevis (i 1826) for, at polynomiale ligninger af grad fem eller mere ikke kan løses ved roduddragning.

Med stor snilde forbandt Galois systemet af løsninger til en polynomial ligning med et system af permutationer, som danner en såkaldt permutationsgruppe; den særlige gruppe, som er forbundet med mængden af løsninger til polynomiale ligninger, kendes nu som Galois gruppen. De dybtliggende resultater opnået af Abel og Galois blev velkendte i midten af det nittende århundrede, og de fik stor betydning for algebraens udvikling. Fra at være et studium af ligninger udviklede algebra sig med tiden til at være et studium af algebraiske strukturer som grupper, ringe og legemer.

Banebrydende nye opdagelser i geometrien

En tilsvarende udvikling kan ses i geometrien. Omkring 1800 var de fleste matematikere enige med den tyske filosof Immanuel Kant (1724-1804) i hans tro på, at rummets geometri a priori var den euklidiske geometri. Men i baggrunden lurede en stor overraskelse.

Igennem århundreder havde mange matematikere fejlet i deres forsøg på at bevise, at Euklids femte postulat (parallelpostulatet) fulgte fra de fire andre postulater i Euklids Elementer, som omhandler de tilladelige regler for konstruktion med passer og lineal og entydighed af begrebet ret vinkel. Omkring 1830 kom gennembruddet, da russeren Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856), ungareren János Bolyai (1802-60) og måske også den store tyske matematiker Carl Friedrich Gauss (1777-1855), uafhængigt af hinanden, konstruerede nye geometrier, som ikke tilfredsstillede parallelpostulatet.

Disse nye idéer i geometri blev yderligere udviklet i banebrydende arbejder af Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-66), ikke mindst i hans habilitationsskrift ved universitetet i Göttingen fra 1854, hvori han gav grundlaget for det, der nu kaldes riemannsk geometri.

Mange af Riemanns idéer var generaliseringer til højere dimensioner af idéer hos Gauss fremlagt i hans grundlæggende pionerarbejde om differentialgeometri Disquisitiones generales circa superficies curves fra 1827 om krumningen af flader. I dette arbejde beviste Gauss blandt meget andet, at selv nok så lille en del af overfladen på en kugle ikke kan foldes ud i en euklidisk plan, uden at der opstår geometriske forvrængninger.

Med fødslen af ikke-euklidiske geometrier opstod der et behov for at klassificere de forskellige typer af geometrier. Dette blev yderst hensigtsmæssigt gjort af Felix Klein (1849-1925) i 1872 i hans tiltrædelsesforelæsning ved universitetet i Erlangen, der nu kendes som Erlanger programmet, idet han gjorde brug af det nye begreb 'gruppe' i algebra, som da var i sin vorden. I 1899 lykkedes det for den tyske matematiker David Hilbert (1862-1943) at formulere et fuldstændigt sæt aksiomer for den euklidiske geometri i bogen Grundlagen der Geometrie.

Stringens i den matematiske analyse

I det nittende århundrede tilbød de førende universiteter i Europa undervisning i videregående matematik, herunder kurser i emner fra den matematiske analyse. Denne kobling imellem forskning og undervisning gav mange universitetslærere en følelse af, at det eksisterende grundlag for den matematiske analyse var utilstrækkeligt. I nogle berømte forelæsninger Cours d'analyse ved College de France i Paris i 1820'erne gav den franske matematiker Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) de formelle definitioner - i den form vi stadig bruger dem - på konvergens af følger og uendelige rækker og på kontinuitet af funktioner.

Den tyske matematiker Karl Weierstrass (1815-97) bidrog yderligere til at bringe stringens ind i studiet af funktioner og matematisk analyse i forelæsninger ved universitetet i Berlin i 1870'erne i særdeleshed inden for variationsregning. Teorien for komplekse funktioner blev grundlagt i arbejder af Cauchy og Riemann i forbindelse med de såkaldte elliptiske funktioner indført af Abel og den tyske matematiker Carl Gustav Jacob Jacobi (1804-51). Det nittende århundrede bliver undertiden omtalt som funktionsteoriens århundrede.

Udviklinger i den komplekse analyse blev stimuleret af overraskende forbindelser til talteori, ikke mindst ved studiet af tællefunktionen for primtal π(n), som tæller antallet af primtal mindre end et givet positivt helt tal n. Kun femten år gammel fremsatte Gauss i 1792 den formodning, at π(n) asymptotisk opfører sig som n/ln(n), hvor ln betegner den naturlige logaritmefunktion.

Efter arbejde af den franske matematiker Adrien-Marie Legendre (1752-1833) i 1808 og senere arbejde også af Gauss blev en måde at udtrykke den asymptotiske form på kendt som Primtalssætningen: Kvotienten mellem π(n) og n/ln(n) nærmer sig 1, når n vokser ud over enhver øvre grænse. I en artikel fra 1859 foreslog Riemann, at et bevis måske kunne gennemføres ved studier af nulpunkterne for en kompleks funktion - den såkaldte Riemanns zetafunktion.

Matematikernes stræben efter at fuldende Riemanns idéer blev en af de vigtigste inspirationskilder til udviklingen af den komplekse analyse frem til 1896, da det uafhængigt af hinanden lykkedes for franskmanden Jacques Hadamard (1865-1963) og belgieren Charles De la Vallée Poussin (1866-1962) at bevise Primtalssætningen. Den berømte Riemanns formodning forbliver dog stadig uløst (2008).

Forsøgene på at finde en stringent aritmetisk basis for den matematiske analyse førte hurtigt til et udtalt behov for at finde et rigoristisk og komplet grundlag for det reelle talsystem. Definitive konstruktioner af de reelle tal ved rent logiske, aritmetiske konstruktioner (uden appel til intuition) blev først givet i sidste halvdel af det nittende århundrede, da de tyske matematikere Weierstrass, Richard Dedekind (1831-1916) og Georg Cantor (1845-1918) samt den franske matematiker Charles Méray (1835-1911) på næsten samme tidspunkt og uafhængigt af hinanden hver fremlagde en sådan konstruktion. En anden betydningsfuld udvikling i forbindelse med analyse var Cantors arbejde om teorien for uendelige mængder kort før 1900.

Yderligere udviklinger i det nittende århundrede

Nogle af udviklingerne i matematik i det nittende århundrede opstod i forbindelse med anvendelser. Mest bemærkelsesværdig er teorien for varmeledning i metaller udviklet af den franske matematiker Joseph Fourier (1768-1830) i en stor afhandling fra 1807 og nu kendt under navnet Fourieranalyse.

Et andet højdepunkt er den fundamentale sætning i vektoranalyse, kendt som Stokes' sætning, formuleret af den engelske matematiker og fysiker George Gabriel Stokes (1819-1903) omkring 1850 i forbindelse med arbejde i hydrodynamik og elektrodynamik.

I sin bog Théorie Analytique des Probabilités introducerede Laplace i 1812 et antal nye idéer og matematiske teknikker i sandsynlighedsteori. Før Laplace var sandsynlighedsteori udelukkende beskæftiget med matematiske studier af tilfældigheder i spil, hvorimod Laplace anvendte idéer fra sandsynlighedsteori på mange videnskabelige og praktiske problemer. Forsikringsmatematik, teoretisk statistik og statistisk mekanik er eksempler på nogle af de vigtige anvendelsesområder for sandsynlighedsteori udviklet i det nittende århundrede.

Et særkende for studier af matematik i det nittende århundrede var den stigende vægtlægning på kvalitative egenskaber i forbindelse med matematiske strukturer. I teorien for differentialligninger blev sætninger om eksistens og entydighed af løsninger i stigende grad vigtige, og den kvalitative opførsel af løsninger blev studeret bl.a. af schweizeren Jacques Charles François Sturm (1803-55), franskmanden Joseph Liouville (1809-82) og ikke mindst af den franske matematiker og fysiker Henri Poincaré (1854-1912) i forbindelse med ikke-lineære differentialligninger.

Sammen med tidligere resultater om kvalitative egenskaber ved geometriske objekter som Eulers polyedersætning etablerede Poincarés arbejde om den kvalitative teori for differentialligninger, herunder studier af mangfoldigheder af løsninger, omkring 1900 et fast udgangspunkt for topologi som en selvstændig matematisk disciplin.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik