Eksempler på matematikken i Alice i Eventyrland

Selvom de fleste kender 'Alice i Eventyrland' som en klassisk børnebog, er bogen faktisk fyldt med skjulte matematiske budskaber og gåder.

Det fortæller Bjarne Toft, som er lektor ved Institut for Matematik og Datalogi på Syddansk Universitet i Odense.

Herunder gennemgår vi to eksempler på matematikken fra børnebogen ud fra Bjarne Tofts forklaringer. Det første eksempel, som vi skal se nærmere på, er dét, som også nævnes i artiklen 'Forsker: Alice i Eventyrland er fyldt med skjult matematik.'

Men før vi forklarer selve eksemplet, skal vi lige have på plads, hvad et talsystem er.

Hvad er et talsystem?

Et talsystem er et system, der repræsenterer matematiske tal.

Tidligere var det romerske talsystem f.eks. dominerende i Europa – her skrives de matematiske tal med kombinationer af i alt syv forskellige cifre (I, V, X, L, C, D, M).

I Danmark og de fleste andre steder i verden bruger man i dag det såkaldte titalssystem – også kendt som det arabiske talsystem – hvor de matematiske tal skrives med forskellige kombinationer af i alt ti forskellige cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Rækkefølgen af cifrene er afgørende for talsystemet.

Når vi i vores titalssystem f.eks. ser tallet ’34’, så ved vi automatisk, at det første ciffer ’3’ betyder, at der er tre ti’ere i tallet, mens det næste ciffer ’4’ betyder, at der er fire et’ere. Lægger vi de tre ti’ere og fire et’ere sammen, får vi altså det matematiske tal fireogtredive (ti + ti + ti + et + et + et + et = fireogtredive).

For at forstå eksemplet fra Alice i Eventyrland, skal vi nu i stedet prøve at se på et attentalssystem.

Tolker man cifrene ’34’ ud fra et attentalssystem, så repræsenterer det første ciffer ’3’, at der er tre atten’ere, mens det næste ciffer ’4’ stadig betyder, at der er fire et’ere.
Dermed vil cifrene ’34’ altså repræsentere det matematiske tal otteoghalvtreds i dette attentalssystem (fordi atten + atten + atten + et + et + et + et = otteoghalvtreds).

Første eksempel: 4 x 5 = 12

Lad os nu prøve at se på eksemplet fra Alice i Eventyrland, hvor Alice udtaler følgende:

»4 gange 5 er 12, og 4 gange 6 er 13, og 4 gange 7 er - åh, nej, jeg kommer jo aldrig til 20 på den måde.«

Regnestykkerne kan virke som det rene nonsens, men Bjarne Toft forklarer, at de kan give mening, hvis vi begynder med at bruge atten-talssystemet på Alices første regnestykke:

4 x 5 = 12
Dette regnestykke er selvfølgelig forkert ud fra titalssystemet, da fire gange fem giver det matematiske tal tyve.

Men ud fra attentalssystemet betyder ’12’ rent faktisk det matematiske tal tyve – fordi første ciffer ’1’ betyder, at der er én atten’er. Hertil lægges næste ciffer ’2,’ som betyder, at der er to et’ere. (atten + et + et = tyve).

På den måde bliver regnestykket korrekt.

Næste regnestykke, som Alice nævner, lyder:

4 x 6 = 13
... Hvilket selvfølgelig også er forkert ud fra titalssystemet, eftersom fire gange seks giver det matematiske tal fireogtyve.

Men nu gælder det om at holde tungen lige i munden. For mens Alice før brugte attentalssystemet, er hun nu rykket tre skridt frem og bruger enogtyvetalssystemet – og så bliver regnestykket pludselig korrekt.

Det gør det, fordi ’13’ i enogtyvetalssystemet skal tolkes sådan, at det første ciffer i ’1,’ betyder, at der er én enogtyve’r, mens det næste ciffer ’3’ betyder, at der er tre et’ere (enogtyve + et + et + et = fireogtyve).

Næste regnestykke fra Alice lyder:

4 x 7
… Men her giver hun ikke noget svar på resultatet.

Hvis hun fulgte sit tidligere mønster, skulle det dog lyde:

4 x 7 = 14
… Hvilket igen er forkert ud fra titalssystemet, eftersom fire gange syv giver det matematiske tal otteogtyve.

Men hvis man ligesom før springer tre skridt frem i talsystemerne og nu bruger fireogtyvetalssystemet, så bliver regnestykket korrekt.

I firetyvetalssystemet skal ’14’ nemlig tolkes sådan, at det første ciffer ’1’ betyder, at der er én fireogtyv’er, mens det næste ciffer ’4’ betyder, at der er fire ettere (fireogtyve + et + et + et +et = otteogtyve).

Hvis vi nu fortsatte mønstret, ville regnestykkerne lyde:

4 x 8 = 15 (hvilket passer med syvogtyvetalsystemet)
4 x 9 = 16 (hvilket passer med tredivetalsystemet)
4 X 10 = 17 (hvilket passer med treogtredivetalsystemet)
4 x 11 = 18 (hvilket passer med seksogtredivetalsystemet)
4 x 12 = 19 (hvilket passer med niogtredivetalsystemet)

Men ved det næste regnestykke bryder talmønstret pludselig sammen. Hvis mønstret var fortsat, skulle følgende regnestykke kunne gå op ved at bruge toogfyrretalsystemet:

4 x 13 = 20.
Men det er ikke korrekt - for fire gange tretten giver det matematiske tal tooghalvtreds og cifrene ’20’ repræsenterer IKKE tallet tooghalvtreds, når vi bruger toogfyrretalsystemet.

Her gælder der nemlig, at første ciffer ’2’ betyder, at vi har to toogfyrre’ere, mens næste ciffer ’0’ betyder, at vi har nul ettere (toogfyrre + toogfyrre + nul = fireogfirs).

Altså er systemet og talmønstret brudt sammen, når talrækken når frem til resultatet 20.

»Men det er jo lige præcis også det, Alice siger, når hun udtaler: ’Åh nej, jeg når aldrig frem til 20 på denne her måde',« forklarer lektor i matematik Bjarne Toft.

Men kan det ikke lige så godt være tilfældige tal, Alice slynger ud – hvordan kan man vide, at det er sådan, forfatteren har tænkt?

»Det kan vi heller ikke vide, og det får vi heller aldrig at vide, for han har ikke givet nogle forklaringer. Men det er også det, som gør det spændende at tolke på matematikken i bogen,« siger lektor Bjarne Toft.

Han tilføjer, at der faktisk også er en simplere tolkning af de samme mærkelige regnestykker, som Alice siger i bogen.

»En anden lidt simplere forklaring, som nogen har givet, er, at den lille tabel gik til 12 på det tidspunkt i skolerne i England. Det betyder, at Alices regnestykker ville nå frem til, at 4 gange 12 er 19 – herefter ville hun ikke have lært mere af tabellen. Det kan altså også være grunden til, at hun siger, at hun aldrig når frem til 20,« lyder det fra Bjarne Toft.

Andet eksempel: Et grin uden kat?

Det andet eksempel, som vi skal se nærmere på, er ifølge Bjarne Toft »lidt mere matematik-filosofisk«.

I bogen optræder en figur ved navn Filurkatten, som har det med at forsvinde, så der kun er dens smil tilbage. Om dette tænker Alice:

»Jeg har ganske vist ofte set en kat uden grin. Men et grin uden kat! ... noget så besynderligt har jeg da aldrig set i hele mit liv!«

Ifølge lektor Bjarne Toft kan denne sætning tolkes som den proces, der foregår i børns hoveder, når de skal lære om tal som et abstrakt begreb:

»Den proces, som Alice er i gang med, er netop det, som vi forsøger at lære børn i skolen. Vi ved, hvad to æbler er, og vi ved, hvad to pærer er. Men hvad er 'to' uden noget tilknyttet? Eksisterer tallet to i virkeligheden, eller eksisterer det kun inde i mit hoved? Det er præcis den samme filosofiske overvejelse, som Alice gør sig. For kattens smil – i hvilken forstand eksisterer det uafhængigt af katten?« spørger lektor Bjarne Toft.