Wørdle om igen: Hvilket ord er i virkeligheden det bedste at lægge ud med?

Du kan nu også spille Nørdle - videnskabens Wordle - her på Videnskab.dk.

For præcis to år siden publicerede Videnskab.dk's Forskerne formidler et bud på det bedste startord i ordspillet Wørdle, den danske version af Wordle. Artiklen var skrevet af den ene af forfatterne til denne artikel.

Konklusionen var, at BORES er et rigtig godt ord at starte med i Wørdle.

Resultatet – og de udregninger, der førte til det – var dog ledsaget af en del forbehold. Det viser sig, at forbeholdene var berettigede: BORES er ikke det bedste startord. Men hvad er så?

Nyt samarbejde – ny strategi

Mange Wørdle-spillere har nok stillet sig tilfredse med BORES, og – som vi skal se – var det ikke et helt skævt bud.

Men banebrydende forskning er jo kendetegnet ved aldrig at ligge stille, og i efteråret 2023 tog sagen en ny drejning.

Den oprindelige artikels forfatter, Thomas (sproghistoriker), blev kontaktet af Lucas (ingeniørstuderende), der havde kastet sig over Wørdle-problematikken, foranlediget af sin kæreste, en inkarneret Wørdle-spiller.

Med en ny algoritme havde Lucas fundet en bedre – faktisk den bedste – løsning på problemet.

Lucas foreslog Thomas et tværdisciplinært samarbejde – med Lucas fra DTU som kodningskyndig algoritmemand og Thomas fra Københavns Universitet med en kærlighed til sprog og en svaghed for kombinatorik.

Selv om ingen af os spiller Wørdle, udmundede dette samarbejde i en symfonisk samklang mellem humanvidenskaberne og den anvendte matematik, som vi nu kan fremlægge resultaterne af.

Hvilket ord er det bedste at starte med?

Lad os starte med det vigtigste: det bedste ord at starte med i Wørdle.

Ordet er faktisk gemt i underrubrikken til denne artikel. Underrubrikken indeholder tre ord på fem bogstaver: giver, sarte og sjæle.

Det rigtige svar er … SARTE.

Det var i virkeligheden den eneste grund til, at vi skrev, at svaret ikke er for sarte sjæle. Men sådan må man jo som forsker nogle gange fifle med sandheden for at få sin pointe klart igennem.

Hvad så med den gamle kandidat, BORES?

Jo, som antydet i indledningen er det faktisk et o.k. bud, selv om det ikke er det bedste. Vores nye undersøgelse viser, at BORES som startord ligger på en 191.-plads ud af de i alt 7.680 ord på fem bogstaver, der kan genereres ud fra Retskrivningsordbogen (med det forbehold, vi nævner i faktaboksen »Idéen på caféen på alléen«).

Som et kuriosum kan vi nævne, at man skal være forsigtig, hvis ens zweck (formål) er at genoplive en uddød yucca (palmelignende stueplante). Tager det projekt overhånd, kan man blive dårligere til Wørdle.

De tre allerdårligste startord i vores undersøgelse er nemlig ZWECK (nummer 7.678 ud af 7.680), YUCCA (nummer 7.679) og – tadaa! – UDDØD (nummer 7.680). Det var nok ikke lige de ord, man umiddelbart ville have startet med, men det er da rart at vide.

Den primære grund til, at UDDØD er det allerdårligste startord, er, at selv om der indgår nogle o.k. bogstaver, er det ikke særlig hensigtsmæssigt at bruge det samme bogstav tre gange.

Et andet forslag til bedste ord blev fremlagt på Twitter af lektor på DTU Leon Eyrich Jessen som resultatet af en meget hurtigt sammenkogt algoritme lavet på kontoret en fredag eftermiddag. Hans forslag er SANSE.. Ifølge vores udregninger er SANSE kun det 1.592.-bedste ord. Det indeholder to s’er, hvilket ikke giver særlig meget information.

Leon Eyrich Jessens bud nummer 2, SANDE, er til gengæld et rigtig godt ord – det ligger på 72.-pladsen på vores liste.

Hvordan virker Lucas’ algoritme?

Thomas’ gamle algoritme var baseret på en frekvensbaseret tilgang. Den beregnede et ords score ved at tage alle ord på fem bogstaver og undersøge, hvilket bogstav der er det hyppigste på hver af de fem pladser. Det bedste ord var det, der på hver plads indeholdt det mest hyppige bogstav på den plads.

Som det fremgik af artiklen, var SARES det bedste ord ifølge den tilgang. Men dels er det ikke et ord, der findes, dels indeholder det to S’er, hvilket er uhensigtsmæssigt. Derfor blev det anbefalet at lægge ud med BORES.

Men en bedre strategi tager udgangspunkt i informationsteori. I Wørdle – og andre tilsvarende opgaver – gælder det nemlig om hele tiden at maksimere mængden af ny information og derved reducere mængden af ukendt information.

Så det simple spørgsmål, som Lucas stillede sig selv, er: Hvilket ord reducerer mængden af tilbageværende mulige ord mest muligt?

Ved at undersøge kildekoden på wørdle.dk kunne han se, at samtlige 7.680 ord på fem bogstaver, der kan genereres ud fra Retskrivningsordbogen, er mulige som det hemmelige ord.

Derefter foretog han en undersøgelse med brute force (altså en udtømmende søgning) af, hvor godt et gæt hvert af de 7.680 ord er for hvert af de 7.680 hemmelige ord. Altså: Hvis løsningen er HATTE, hvor godt et gæt er SARTE så? Hvor godt er BORES? Og så fremdeles.

Hvad betyder et »godt gæt« i den sammenhæng? Det betyder, at jo flere muligheder et gæt udelukker, desto bedre er gættet.

Ud fra, hvor godt et ord er, kan man give det en score – jo højere score, desto bedre. Lucas’ analyse viser, at SARTE er det ord, der har den højeste score, det vil sige det ord, der giver os mest muligt ny information. SARTE har en score på 6,15 bits (se faktaboksen »Informationsteori og bits«).

Hvad så bagefter? Ord nummer to

Udgangsbetingelserne vil altid være de samme, når man lægger det første ord. Der er 7.680 mulige ord, og vi har ingen ledetråde. Men ved ord nummer to er situationen en helt anden. Der er ikke et bestemt ord, der altid vil være det bedste ord nummer to.

Men man kan alligevel gøre sig nogle tanker. Og – modsat hvad man måske intuitivt ville tro – giver det bedst mening at lægge et ord, der ikke indeholder nogen af de bogstaver, der optræder i det første ord, man har lagt – selv hvis de er grønne eller orange.

Så hvis man har lagt ud med SARTE, kunne et godt ord nummer to være for eksempel GYLDN, MULDN eller LOGIN. Jo jo, det kræver lidt god vilje at se, at GYLDN og MULDN er rigtige danske ord, men det er de altså, i hvert fald i teorien og i Wørdl-sammenhæng (og – et gratis bonustip – i Wordfeud).

Men hvilket af de ord skal man så vælge som ord nummer to?

Hvis SARTE overvejende indeholdt grå bogstaver, er GYLDN et godt ord. Hvis det overvejende var grønt, er MULDN godt, og hvis det overvejende var orange, kunne ord nummer to være LOGIN.

Men disse tre ord er kun i visse tilfælde de bedste at lægge. I mange tilfælde vil der være ord, der er (marginalt) bedre.

Hvordan kan det være, at man faktisk ikke skal holde fast i det, man ved? Altså hvis man lægger SARTE og får at vide, at R er grønt og E er orange, bør man da netop holde sig til det sikre og i forsøg nummer to lægge R som tredje bogstav og E et andet sted, for eksempel som fjerde bogstav. Ikke?

Nej. Hvis man gør det, får man ingen ekstra information ud af R (man vidste jo på forhånd, at det lå på tredjepladsen), og kun en smule ekstra information ud af E (man vidste jo, at der var et E i ordet).

Lad os sige, at HATTE er det hemmelige ord, som vi skal prøve at gætte. Vi starter med SARTE og kan se, at vi var heldige: Vi mangler kun to bogstaver og har fem forsøg tilbage!

Vi tænker, at den er næsten hjemme. Og lægger måske JANTE. Nej, det hjalp ikke.

BAGTE så? Heller ikke.

MALTE? Nej.

På den måde kommer vi hurtigt ned på jorden igen og bruger alle vores gæt uden at finde en løsning. Kunne vi have gjort noget smartere?

Ja. Ved at genbruge de tre grønne bogstaver, fik vi ingen ny viden ud af dem. Det eneste, vi fik at vide ved at skrive JANTE, var at J og N ikke findes i ordet. Og tilsvarende med BAGTE, som udelukkede B og G.

Hvis vi derimod som gæt nummer to for eksempel havde lagt MULDN, ville det godt nok have givet lutter nitter, men til gengæld ville vi have fået en masse nyttig information, i og med at vi ville have udelukket alle ord, som indeholder M, U, L, D eller N. Vi ville have fået fem nye stykker information. Og det gælder jo om at maksimere den information, man får.

Ord nummer tre: Vejene skilles

Når man kommer til ord nummer tre, begynder vejene så småt at skilles for mennesker og computere.

Vi mennesker kan jo meget, som computere ikke kan. Men … computere kan jo så også noget, som vi ikke kan.

En af de ting, som computere er bedre til end mennesker, er at bearbejde store mængder data på en mekanisk måde. Og det er netop det, man skal, når man spiller Wørdle, som for en computer er en temmelig simpel opgave.

Computerens største fordel er, at man kan fodre den med alle de 7.680 mulige ord. Dermed kan den bruge udelukkelsesmetoden og systematisk sortere de ord fra, der ikke kan bruges, samtidig med at den kan finde det ord, der giver den største mængde ny information.

Det er svært for os mennesker at gøre det samme, når datamængden er så stor. Vi har svært ved at bruge de orange bogstaver, og vi mangler overblik over de muligheder, der er tilbage efter hvert forsøg.

Hvad man kan gøre som menneske, er at tage udgangspunkt i de orange bogstaver og lægge dem nogle andre steder, så de forhåbentlig kan blive grønne.

Til gengæld giver det stadig bedst mening ikke at gentage grønne bogstaver, selv om man ved, at de er rigtige. I stedet bør man lægge nye bogstaver på de pladser, hvor man fik et grønt bogstav.

Selv hvis der kun er fire mulige ord tilbage, er det bedst ikke at prøve at gætte det rigtige ord med det samme (medmindre man selvfølgelig er nede på kun at have ét gæt tilbage – så er man nødt til at satse). Det er bedre at lægge et ord, der indeholder så mange som muligt af de bogstaver, der ikke har været i spil endnu. På den måde indsnævrer man nemlig mulighedsrummet mest muligt.

Hvis det er for svært at overskue, kan man i tredje gæt prøve at lægge et ord, der ikke indeholder nogen af bogstaverne fra første og andet gæt.

Har man for eksempel lagt SARTE og GYLDN, kan man nu lægge OPKØB, MUHKO, eller OPIUM. Der er ingen garanti for, at det er de bedste ord at lægge. Men hvis man gør det, er man trods alt ikke helt på herrens mark.

Hvordan computeren spiller, og hvorfor du ikke kan gøre det samme

Lucas’ algoritme kan bruges til mere end bare at finde det bedste startord. Hvis vi fortsætter med at anvende samme tilgang på de tilbageværende ord efter hvert gæt, bliver vi med at få det ord, der forventes at reducere listen mest muligt.

Den gode nyhed er, at hvis man spiller sine ord rigtigt, vil man altid gætte det rigtige ord inden for seks gæt.

Den dårlige nyhed er, at det nok ikke er menneskeligt muligt at optimere sit spil så meget. Vi har ikke hjernekapacitet nok til at holde styr på alle de tilbageværende mulige ord efter hvert gæt, og vi kan ikke efter hvert gæt regne ud, hvilket ord der er det bedste at lægge.

Men det kan en computer.

Eftersom der er 7.680 rigtige ord, vil algoritmen – ligesom et menneske – kun gætte rigtigt i første hug én gang ud af 7.680. Men for hvert yderligere gæt bliver algoritmen bedre og bedre i forhold til en menneskelig Wørdle-spiller.

Som det kan ses af Figur 1, bruger algoritmen i gennemsnit lige omkring fire gæt (for at være helt præcis: 4,0146 gæt) på at finde det rigtige ord.

Figur 1. Antal gæt, algoritmen skal bruge for at finde løsningen.

Den sproglige baggrund

Det er selvfølgelig ikke tilfældigt, at SARTE er det bedste ord at skrive. Hvis man vil forstå det fra sprogets eget perspektiv, kan man kigge lidt på, hvordan danske ord er bygget op.

Her er det i vores sammenhæng vigtigt at bide mærke i, at alle ordformer kan bruges, så længe de er på fem bogstaver. En del af ordene er rødder (KAPUT) eller korte sammensætninger (UDDØD) – men rigtig mange af ordene indeholder endelser (SARTE, BORES, SANSE).

Og endelser, som jo står i slutningen af ordet, er ret ensformige. Rigtig mange af dem indeholder E, S, D, T eller N. Dermed vil de bogstaver være ekstra frekvente, og de vil især være det i ordets slutning.

I begyndelsen af ordet er sagen en anden. Der har vi en mangfoldighed af både vokaler og konsonanter. Men de er ikke tilfældigt sat sammen.

Ser man for eksempel på ord, der begynder med tre konsonanter, vil den første altid være S, den anden vil være P, T eller K, og den tredje vil være L eller R. SPRAT er for eksempel et teoretisk muligt ord i dansk, men det er SRPAT eller PSRAT ikke, da de overtræder reglerne for stavelsesstruktur, den såkaldte fonotaks.

Der er også regler for, hvilke to konsonanter danske ord kan starte med – TL og SR er for eksempel ikke tilladt (undtagen SR i Sri Lanka og afledninger deraf).

Fra et sproghistorisk perspektiv skyldes hyppigheden af E uden for første stavelse i dansk en lydudvikling, der fandt sted i middelalderen. Der blev alle vokaler, der ikke stod i første stavelse, som udgangspunkt til E – kona blev til kone osv. Denne udvikling kaldes infortissvækkelsen.

Tilsvarende skyldes fraværet af SR i starten af ordet at der i et forstadie til dansk for nogle tusind år siden var en lydudvikling af sr til str, hvorved alle forekomster af sr forsvandt. Og lige siden har det været småt med sr.

Dermed har vi set i hvert fald omridset af en sproglig og en sproghistorisk forklaring på, hvorfor ord med en bestemt struktur er gode at lægge ud med i Wørdle.

Afrunding

Vores vigtigste pointe er, at det altid gælder om at lægge et ord, der udelukker så mange ord som muligt. Det føles ikke nødvendigvis intuitivt rigtigt, og det er heller ikke altid nemt. Men det er den bedste strategi.

Den førte frem til fire konkrete tips, som man kan bruge, hvis man er interesseret i at optimere sit Wørdle-spil:

1. Læg SARTE som ord nummer 1.
2. Læg et ord, der ikke indeholder S, A, R, T eller E, som ord nummer 2, for eksempel GYLDN, MULDN eller LOGIN.
3. Genbrug aldrig grønne ord bogstaver (medmindre du tror, du har gættet det rigtige ord, eller hvis du kun har ét gæt tilbage), og genbrug kun orange bogstaver, hvis du ikke kan regne ud, hvilke ord der er tilbage.
4. Hvis du har en ide om, hvilke ord der er tilbage, så prøv lægge et ord, der indeholder så mange som muligt af de ukendte bogstaver fra disse ord.

Har du lyst til at få hjælp til at løse Wørdle optimalt eller lege med den frekvensbaserede algoritme, har Lucas lavet et simpelt analyseværktøj, der er tilgængeligt på ordish.dk.

Du kan udforske strategier i Wordle-løsningsværktøjet og prøve en ny version af Wordle, hvor du kan se, om du kan spille bedre end computeren.