Hvis du samlede modet til at hoppe ned i et hul, som du med sikkerhed vidste, ville bringe dig til den anden side af Jorden – hvor lang tid ville det så tage?
'Falde gennem Jorden'-dilemmaet har været bragt til torvs i mangt et fysiklokale gennem årene, fordi det på smuk vis kombinerer flere klassiske love fra fysikkens verden. Gennem alle årene har de studerende fået at vide, at svaret er 42 minutter. Det samme har Videnskab.dk tidligere skrevet i artiklen Hvad ville der ske, hvis man faldt tværs gennem Jorden?
Nu har en specialestuderende i fysik fra McGill University i Montreal, Canada, skrællet 4 minutter af rejsetiden ved at tage Jordens massefordeling med ind i beregningen. Med den nye analyse lander estimatet dermed på sølle 38 minutter for en rejse gennem Jordens indre. Det skriver Sciencemag.org.
»Dette er den type afhandling, vi elsker,« siger fysiker David Jackson fra Dickinson College i Carlisle, Pennsylvanien, til Sciencemag.org. Han er redaktør på American Journal of Physics, hvor den nye analyse er publiceret.
Ifølge den danske professor Ulrik Uggerhøj ved Institut for Fysik og Astronomi på Aarhus Universitet er det dog »et spørgsmål om smag, om en sådan mere præcis udregning er interessant.«
»Når man refererer til standarden på 42 minutter, er det, fordi det er en udregning, man selv kan lave 'på bagsiden af en konvolut'. Det er en mere pædagogisk model end den nye, fordi den på et tidligt tidspunkt bringer centrale fysiske begreber, såsom harmonisk bevægelse, på banen.«
Urealistisk antagelse: Massefordelingen er jævn
Udregningen af, hvor lang tid det vil tage at falde gennem Jorden, er et klassisk fysikproblem, blandt andet fordi det benytter Isaac Newtons tyngdelov, hvormed man opnår en almindelig, men meget vigtig, type cyklisk bevægelse:
\ Fakta
Tidsskriftet 'American Journal of Physics' udgives af den amerikanske forening for fysiklærere.
For at løse problemet må de studerende udregne, hvordan et objekts tyngdekraft ændrer sig, mens det falder gennem tunnelen.
Og det er her, den typiske - men urealistiske - antagelse kommer ind i billedet; de studerende må nemlig gå ud fra, at Jorden har samme massefordeling hele vejen igennem: omkring 5.500 kg pr kubikmeter. Hvis det er tilfældet, vil den styrke, med hvilken tyngdekraften hiver dig i retning af Jordens kerne, variere, alt efter hvor langt du er fra centrum.
Det skyldes, at mens du falder gennem tunnelen, vil mængden af masse under dig falde, mens massen over ikke længere påvirker dig – det bliver udregnet ved hjælp af den såkaldte 'shell'-læresætning, som Newton også udviklede.
En mere præcis beregning med seismisk data
Fordi den kraft, der trækker dig mod centrum, er proportional til afstanden fra centrum, vil det i sidste ende betyde, at du svinger frem og tilbage gennem Jorden som et pendul.
Men i virkeligheden har Jorden selvfølgelig ikke en jævn massefordeling – fordelingen er derimod mindst ved Jordens ’skorpe’ og størst ved Jordens 'kerne'.
Derfor begyndte den canadiske fysikstuderende Alexander Klotz at overveje, hvad en mere realistisk beregning ville være.
Til det benyttede han sig af den såkaldte PREM (Prelimenary Reference Earth Model) jord-model, der angiver Jorden som ’bestående af en række karakteristiske lag med forskellige typiske egenskaber’. PREM-modellen baserer sig på seismiske data.
\ Fakta
Hvis du gjorde alvor af at grave et hul hele vejen gennem Jorden, ville du havne midt i Stillehavet et par hundrede kilometer sydøst for New Zealand.
Ifølge modellen varierer Jordens massefordeling fra omkring 1.000 kg pr kubikmeter ved overfladen til omkring 13.000 kg pr kubikmeter ved centrum. Ved at tage disse faktorer med ind i beregningen, regnede Alexander Klotz sig frem til, at et objekt ville falde gennem Jorden på 38 minutter og 11 sekunder, i stedet for de 42 minutter og 12 sekunder, som en rejse gennem en Jord med jævn massefordeling ville vare.
Dansk professor: De færreste fysikere tror, Jordens massefordeling er jævn
Historien kunne slutte her, men det gør den ikke. Alexander Klotz fandt nemlig også ud af, at han fik næsten præcis samme svar, hvis han i stedet nøjedes med at antage, at tyngdeaccelerationen var den samme hele vejen gennem Jorden.
Det er en fuldstændig urealistisk estimering, eftersom en sådan konstant kraft ville betyde, at tætheden inde i Jordens centrum var uendelig. I virkeligheden stagnerer tætheden, og tyngdekraften falder til nul, ved Jordens kerne.
Men hvorfor virker den grove forsimpling så så godt? Det skyldes, at den grove fejlantagelse gælder i så kort tid, at den bliver ligegyldig, fortæller professor Ulrik Uggerhøj.
»Det er en god approximation, og den er bedre end den, hvor massefordelingen er jævn, på den måde, at den kommer tættere på den realistiske massefordeling, der hvor det betyder noget,« siger han.
Ulrik Uggerhøj tilføjer dog, at det formentlig er de færreste fysikere, der tror, at Jordens masse er fuldstændig jævnt fordelt – modellen med den jævne massefordeling bruges, ikke fordi den er perfekt, men fordi den har nogle åbenlyse pædagogiske fordele, fortæller han.
Men ifølge David Jackson er analysen alligevel sjov, fordi den viser, hvorfor og hvordan du kan udskifte én overdrevent simpel antagelse med en anden og alligevel få et langt mere korrekt svar.
»Den klassiske problemstilling er der stadig. Men det her er en fin tilføjelse til det oprindelige problem,« slutter han.
