Primtal er mere end positive heltal, der kun kan divideres med tallet 1 og sig selv og stadig give et helt, positivt tal. Primtal er nemlig et matematisk mysterie.
Et mysterie, som matematikerne har forsøgt at afdække, lige siden Euklid cirka 300 år før vor tidsregning beviste, at der findes uendeligt mange primtal.
For nylig blev det hidtil største primtal fundet i forbindelse med et igangværende projekt – GIMPS-projektet eller 'The Great Internet Mersenne Prime Search' – der har til formål at afsløre primtal af en særlig sjælden art.
Afgørende, at vi har kendskab til egenskaber
Det nyfundne primtal har intet mindre end 23.249.425 cifre og er så langt, at det let kunne fylde 9.000 sider i en bog. Til sammenligning mener forskerne ikke, at dét tal, der angiver antallet af atomer i hele det observerbare univers, har mere end 100 cifre.
Tallet – der er blevet døbt M77232917, og som kan skrives som 2 7 ² ² ¹ ¹-1 (gange to med sig selv 77.232.917 gange og herefter fratrække ét) blev fundet af en frivillig ved crowdsourcing GIMPS-projektet, der indtil videre har dedikeret 14 år til jagten på primtal.
Men hvorfor skal vi egentlig vide noget om et tal med 23 millioner cifre? De vigtigste tal er da de tal, vi kan bruge til at kvantificere vores egen verden.
Men sådan forholder det sig faktisk ikke. Det er afgørende, at vi har kendskab til forskellige tals egenskaber, så vi ikke alene kan videreudvikle den teknologi, vi forlader os på, men så vi også kan gardere os, at den er sikker.
Hemmeligheder og primtal
Én af de måder, vi bruger primtal i databehandling, er RSA-krypteringssystemet.
I 1978 skabte de tre matematikere Ron Rivest, Adi Shamir og Leonard Adleman RSA-krypteringssystemet, der bliver anvendt til sikker online informationsoverførsel, eksempelvis kreditkortnumre.
Algoritmens første ingrediens er to store primtal. Jo større tallene er, desto sikrere er krypteringen. Tallene et, to, tre, fire og så videre kaldes de naturlige tal, og de er naturligvis yderst nyttige her. Men primtallene er alle de naturlige tals multiplikative byggesten, så de er endnu mere afgørende.
Tag for eksempel 70. Ved division kan vi se, at det er et produkt af 2 og 35. Desuden er 35 et produkt af 5 og 7. Så 70 er et produkt af tre mindre tal: 2, 5 og 7.
Her slutter det dog for 70, da tallet ikke kan deles mere op. Vi har fundet de grundlæggende komponenter i tallet 70 ved den simpleste form for faktorisering.
Multiplikation af to tal er en lidt kedelig, men forholdsvis enkel opgave; selv hvis tallene er meget store.
Primtalsfaktorisering
Primtalsfaktorisering er derimod ekstremt svært, og det er netop dét, som RSA-krypteringssystemet udnytter.
RSA-kryptosystemet er en metode, hvor sikkerheden hviler på vores viden om, at det er umuligt effektivt at faktorisere et helt tal i et produkt af primtal.
Vi taget et eksempel: Alice og Bob vil gerne kommunikere fortroligt over internettet. Derfor har de brug for et krypteringssystem. Hvis de mødes ansigt til ansigt, kan de udarbejde en metode for kryptering og dekryptering, som de alene kender.
Men hvis den første kommunikation sker online, er de tvunget til først at kommunikere selve krypteringssystemet – og det er risikabelt.
Hvis Alice derimod udvælger to store primtal, beregner deres produkt og kommunikerer resultatet, vil det være meget svært at afsløre hendes oprindelige primtal, fordi hun alene kender faktorerne. Så Alice kommunikerer hendes produkt til Bob, men holder faktorerne hemmelige.
Bob bruger produktet til at kryptere en besked til Alice. Beskeden kan kun dekrypteres ved at bruge de faktorer, som kun Alice kender.
Selv hvis Eve smuglytter, kan hun ikke afkode Bobs besked, med mindre hun kender Alices faktorer, der jo aldrig er blevet kommunikeret. Ikke engang den hurtigste supercomputer kan hjælpe Eve i forsøget på at opløse tallet i primtalsfaktorer. Der findes simpelthen ikke en algoritme, der kan gøre det.
Jagten på primtal
Store primtal bliver også brugt i andre krypteringssystemer. Jo hurtigere computerne bliver, desto hurtigere kan de knække tallene.
På nuværende tidspunkt er det nok at benytte primtal med hundredevis af cifre; numre, der er bittesmå i forhold til det kæmpestore primtal, der blev fundet for nylig.
Det nye primtal er faktisk så stort, at man på nuværende tidspunkt ikke kan forestille sig teknologiske fremskridt i databehandlingshastigheden, der fører til, at vi skal bruge det til sikkerhed ved kryptering.
Sandsynligvis får vi ikke engang brug for så store tal for at afholde fremtidens kvantecomputere fra at knække krypteringen.
Irrelevant om det kommer til nytte
Det var hverken mere sikre krypteringssystemer eller computing-forbedringer, der lå til grund for den seneste Mersenne-opdagelse, men derimod matematikernes trang til at afsløre de 'juveler', der ligger gemt i 'primtals-skattekisten'.
\ ForskerZonen
Denne artikel er en del af ForskerZonen, som er stedet, hvor forskerne selv kommer direkte til orde. Her skriver de om deres forskning og forskningsfelt, bringer relevant viden ind i den offentlige debat og formidler til et bredt publikum.
ForskerZonen er støttet af Lundbeckfonden.
Det er en trang, der starter med at tælle »…en, to, tre…«, og som driver os til grænsen mod nye, fantastiske opdagelser. Nutidens nethandel blev nærmest revolutioneret ved en tilfældighed.
Den berømte britiske matematiker, Godfrey Harold Hardy, sagde engang: »Ren matematik er i det hele taget tydeligt mere brugbar end anvendt matematik.. For det allermest brugbare er teknik, og matematisk teknik bliver primært lært gennem ren matematik.«
Om det seneste primtal med sine millionvis af cifre nogensinde kommer til nytte er – i hvert fald følge Godfrey Harold Hardy – irrelevant.
Fordelen ved at kende de kæmpestore primtal ligger i at slukke menneskehedens intellektuelle tørst, der blev vakt, dengang Euklid beviste, at der findes uendelig mange primtal, og som stadig ikke er blevet slukket.
Ittay Weiss hverken arbejder for, rådfører sig med, ejer aktier i eller modtager fondsmidler fra nogen virksomheder, der vil kunne drage nytte af denne artikel og har ingen relevante tilknytninger. Denne artikel er oprindeligt publiceret hos The Conversation og er oversat af Stephanie Lammers-Clark.
