Primtallene har fascineret mennesker i årtusinder, og matematikerne referer nogle gange til dem som 'tallenes byggesten'.
Men på trods af vores lange fascination af primtal ved vi forbløffende lidt om dem – for eksempel har vi svært ved at forudsige, hvornår det næste primtal dukker op i talrækken.
Men nu har forskerparret Kannan Soundararajan og Robert Lemke Oliver fra Stanford University overraskende opdaget et hidtil ukendt mønster i rækken af primtal.
Forskerne har opdaget, at hvis et primtal slutter på 1, så er sandsynligheden for, at det næste primtal også slutter på 1 faktisk mindre, end den ville være under tilfældighedernes spil.
»Det er et fantastisk resultat. Det er helt uventet, og jeg havde bestemt ikke forventet at se det,« fortæller lektor Simon Kristensen fra Institut for Matematik ved Aarhus Universitet, der selv har beskæftiget sig med primtal.
Forskerparret fra Stanford University har indsendt deres nye artikel til onlinebiblioteket arxiv.org, men det har endnu ikke modtaget peer review.
Resultatet går stik imod formodningen
Selvom matematikerne er overraskede over det nye resultat, har de tidligere kunnet regne på sandsynligheden for, at et primtal slutter på et bestemt ciffer. Det er i sig selv bemærkelsesværdigt og kan ses som en forløber for det nye resultat.
»Vi har for eksempel vidst, at hvis et primtal endte på 7, så ville det næste primtal have større sandsynlighed for at ende på 9 end 7,« fortæller Simon Kristensen.
\ Fakta
Primtal er hele tal større end 1, der ikke er deleligt med andre hele positive tal end 1 og tallet selv. De første primtal er 2, 3, 5, 7, 11, ... Primtallene har lige siden oldtiden været genstand for matematikeres interesse. Euklid viste, at der findes uendeligt mange primtal, og Eratosthenes angav en metode til bestemmelse af samtlige primtal. Primtal spiller en stor rolle i talteori, og især store primtal har vist sig at have vigtige anvendelser inden for bl.a. kodningsteori og kryptologi. Det største kendte primtal (2016) er 274.207.281-1, der skrevet i titalssystemet har flere end 22 mio. cifre. Kilde: Den Store Danske.
Størstedelen af den viden føjer den danske matematiker dog ind under de 'oplagte betingelser' for at finde primtal, og de har ikke i sig selv udgjort et stort gennembrud inden for matematikken.
Matematikerne har for længst placeret tal i bestemte kasser, hvis deres sidste ciffer gjorde det umuligt, at de kunne være primtal. For eksempel ligger alle tal, der slutter på 4 i en 'umulig' kasse, da primtal over 2 ikke kan være lige, uanset hvor store de er.
»Men ud af de mulige kasser, så er formodningen, at der er lige mange primtal i hver kasse i gennemsnit. Hvis jeg for eksempel tog frekvensen af dem, der ender på 3 og 1, så forventer vi, at de vil være ens, når vi har fyldt alle primtallene i kasser,« fortæller Simon Kristensen.
»Men under de her stærke formodninger har det inden for de senere år vist sig - specielt med dette resultat - at sådan forholder det sig overhovedet ikke. I hvert fald ikke i det kortere løb, når vi kigger på et endeligt antal primtal,« fortæller Simon Kristensen.
Ingen kan bevise matematikernes forklaring
I det nye studie brugte de to matematikere fra Stanford University en computer til at undersøge, hvor ofte primtallene havde bestemte slutcifre.
Hvis fordelingen af slutcifre i primtallene var helt tilfældig, ville de støde på 1 som slutciffer i primtallene i gennemsnit en fjerdel – eller 25 procent – af tiden. Det skyldes, at der efter tallet fem kun findes fire mulige slutcifre for primtal: 1, 3, 7 og 9.
I den nye artikel har de to forskere undersøgt slutcifrene i den første milliard af primtal.
Her konkluderer de overraskende, at:
- Tallet 1 kun optræder som slutciffer omkring 18 procent af tiden, hvis det foregående primtals slutciffer også er 1
- Tallene 3 og 7 optræder hver som slutciffer omtrent 30 procent af tiden, hvis det foregående primtals slutciffer er 1
- Tallet 9 optræder som slutciffer omkring 22 procent af tiden, hvis det foregående primtals slutciffer er 1
Forskerne fandt lignende resultater, når det første af to primtal havde slutcifferet 3, 7 eller 9, og i alle tilfælde var det mindst sandsynligt at få det samme slutciffer i to primtal i træk. Tendensen blev dog i alle tilfælde mindre, efterhånden som matematikerne kiggede på højere og højere primtal.
Forskerne forklarer fænomenet med en eksisterende formodning om primtal, der hedder 'Hardy–Littlewood k-tuple-formodningen', som beskriver fordelingen af primtal med fællestræk ud fra andre principper end den rene tilfældighed.
Endnu er der dog ingen, der har kunnet forklare eller bevise, at 'Hardy–Littlewood k-tuple-formodningen' er sand, og dermed har matematikerne ikke en endelig forklaring på, hvorfor de 'tilfældige' primtal ikke opfører sig tilfældigt.
Dankortet er uden for fare
Simon Kristensen mærker sig ikke med det tilsyneladende paradoks ved, at 'tilfældige' primtal hellere vil ende på 3 end på 1.
»Ved du, hvad det vil sige, at noget er tilfældigt? Jeg ved det ikke. Man kan kalde noget 'tilfældigt', hvis det er som at slå med en terning. Men det kan også være som Nilens oversvømmelser, som vi kan se i gamle egyptiske tidevandstabeller. Hvis Nilen går over sine bredder et år, så kan vi se, at der er markant større risiko for, at den også gør det året efter,« siger Simon Kristensen.
»Men der er ikke nogen, der derfor vil påstå, at vi ikke kan modellere Nilens oversvømmelser med en form for tilfældighed,« fortsætter den danske forsker.
Som med mange andre matematiske gennembrud har den nye opdagelse ikke i første omgang en praktisk anvendelse. Heller ikke selvom moderne krypteringsteknologi og datasikkerhed i vid udstrækning er baseret på, at primtal er uforudsigelige.
»Så vidt som jeg kan se, er der ikke nogen fare for bankhemmelighedernes ve og vel, men det kan da godt være, at nogen kan finde noget at bruge de tal til - de er jo meget opfindsomme inden for den branche. Men umiddelbart er der ikke noget, der er ved at falde fra hinanden,« forsikrer Simon Kristensen.
