Plat eller krone: Sådan vinder du i møntkast

Plat eller krone?

Siden de gamle romeres tid har møntkast afgjort stridigheder, fodboldkampe og politiske valg.

Fordelen ved møntkast er, at det er fuldstændig tilfældigt, hvordan mønten lander, og de stridende parter har altså lige store chancer for at vinde spillet.

Eller har de nu også det?

Nej, siger tre amerikanske forskere, som ved hjælp af matematik og fysik har beskrevet møntkast ned til mindste detalje. I en 31 sider lang rapport har forskerne vist, at der er størst chance for, at mønten lander med den samme side opad, som da den blev kastet.

Ifølge rapporten er det altså forkert, når matematiklærere landet over forklarer deres elever, at et møntkast giver 50 procent chance for udfaldet plat og 50 procent chance for udfaldet krone.

Men kan det virkelig passe, at der er en fejl i et af de mest grundlæggende eksempler i sandsynlighedsregning? Videnskab.dk har bedt to danske eksperter om at vurdere amerikanernes rapport.

51 procent chance for det samme

Men lad os begynde med at se på resultaterne i 'Dynamical bias in the coin toss', som blev publiceret i det videnskabelige tidsskrift SIAM Review i 2007.

De amerikanske forskere konkluderer i rapporten, at en spiller har 51 procent chance for at få krone, hvis hans mønt ligger med krone-siden opad, når den kastes – og således er der altså kun 49 procent chance for at få plat.

Starter mønten derimod med plat-siden opad, vil det omvendte være tilfældet – 51 procent chance for plat og kun 49 procent chance for krone.

Ikke en snydemønt til plat eller krone

Forskerne er nået frem til resultatet ved at bygge en møntkastnings-maskine, filme den i slowmotion og derefter analysere resultaterne af de mange tusinde møntkast ved hjælp af matematik og fysik.

Inspirationen til at lave undersøgelsen fik den ene af rapportens tre forfattere - Persi Diaconis – fra sin tidligere karriere.

Inden Diaconis blev professor i matematik ved Stanford University i Californien, havde han nemlig arbejdet som tryllekunstner. Dengang havde han lært sig selv at slå plat eller krone, så mønten altid landede præcist, som han ønskede det.

I sin videnskabelige undersøgelse bruger Diaconis dog hverken snydekast eller trickmønter. I stedet tager han og de andre forskere udgangspunkt i en fuldstændig ’fair’ mønt.

Hvad siger eksperterne?

De to danske eksperter, som Videnskab.dk har talt med, er overbeviste om, at de amerikanske forskere har ret i deres nye bud på sandsynlighedsfordelingen mellem plat og krone.

»Jeg kan ikke se andet, end at det er helt korrekt. Først forudsiger forskerne med deres ligninger, at der vil være en overvægt af tilfælde, hvor mønten falder ned på samme side, som den starter. Det efterprøver de så empirisk, og deres undersøgelser er meget overbevisende,« siger Susanne Ditlevsen, som er professor i matematik ved Københavns Universitet.

Hun er leder af en forskningsgruppe, som netop beskæftiger sig med sandsynlighedsregning og statistik.

Kulturel opfattelse af tilfældighed

Lektor Carsten Knudsen fra Danmarks Tekniske Universitet har selv forsket i terningkast, og han mener ligeledes, at de amerikanske beregninger af møntkast er »helt rigtige«.

Han forklarer, at det slet ikke er tilfældigt, hvordan en mønt lander, når den kastes op i luften – det hele er bestemt af fysikkens love.

»Når vi kaster en bold op i luften, adlyder den de samme fysiske love som mønten. Men et boldkast opfatter vi ikke som tilfældigt, fordi vi selv delvist kan kontrollere, hvordan bolden lander, og samtidig kan vores øjne følge med i boldens bevægelser.«

»Men hvis du kaster en mønt op i luften, roterer den for hurtigt til, at dine øjne kan følge med. Det er formentlig derfor, at vi har denne her kulturelle opfattelse af, at et møntkast er tilfældigt,« siger Carsten Knudsen, som er lektor i fysik.

Hvorfor er der forskel på plat og krone?

Men hvorfor er der overhovedet større sandsynlighed for, at mønten lander med samme side opad, som da den begyndte? Den helt simple version af forklaringen lyder sådan her:

Forestil dig, at du har en mønt, som ligger på din finger med kronesiden opad.

Når du kaster den op, roterer den igennem luften, og kronesiden vil enten vende opad flere gange eller lige så mange gange som plat-siden.

Derimod vil plat-siden vende opad lige så mange gange eller færre gange end kronesiden – men aldrig flere gange, fordi mønten ikke startede med plat-siden opad.

»I nogle tilfælde vil mønten måske slet ikke rotere rundt, når du kaster den op i luften. Krone-siden vil for eksempel kunne blive ved med at vende opad, mens mønten er oppe i luften. Samlet set er det med til at give denne her oversandsynlighed for, at en mønt lander med samme side opad, som da den startede, « forklarer Susanne Ditlevsen.

Mennesker kan ikke styre alt

Susanne Ditlevsen forklarer, at hvis en mønt altid kastes op i luften fra præcist samme startposition og med præcist den samme kraft – så vil mønten altid lande på præcist samme måde.

»Det viser amerikanerne også i deres forsøg, hvor de bygger en maskine, som får mønten til at lande ens i 100 procent af tilfældene. I sådan en situation er der jo intet tilfældigt tilbage i et møntkast, « siger Susanne Ditlevsen og tilføjer:

»Problemet er selvfølgelig, at vi mennesker – modsat møntkastningsmaskinen – ikke kan styre de forskellige faktorer, som påvirker mønten, fuldstændig eksakt. Vi kan ikke lægge mønten i nøjagtigt den samme vinkel på vores finger eller kaste den op i luften med nøjagtigt samme kraft. Derfor beregner de amerikanske forskere for eksempel de mange mulige startpositioner en mønt kan have. Ud fra disse beregninger kan de forudsige, at der stadig vil være en overvægt af fordelinger, hvor mønten lander med samme side opad.«

Terningkast er heller ikke tilfældigt

Amerikanernes beregninger af møntkast gælder dog kun i tilfælde, hvor mønten bliver grebet i luften. Hvis mønten derimod lander på et eksempelvis et bord, skal der helt andre matematiske modeller til at beskrive forløbet – fordi sammenstødet med bordet får mønten til at rotere eller hoppe efter helt nye systemer.

Det var netop sådanne modeller, som Carsten Knudsen anvendte, da han i slutningen af 1980’erne begyndte at forske i terningkast.

»Terningkast blev ligesom møntkast typisk betegnet som værende tilfældigt. Men som fysikere troede vi jo på Newtons love, og derfor mente vi, at man måtte kunne lave en model for terningkast. Det kunne vi også, og vi kunne se, at hvis man kastede terningen tæt på bordet, så kom der en lille bias ind i resultaterne.«

»Om du får en sekser eller en toer afhænger altså af, hvilken side du har opad, når du kaster terningen. Men det lille bias gælder kun, hvis du har terningen tæt på bordet. Når vi i forsøget kastede terningen højere oppefra, så fik vi en helt tilfældig fordeling af, hvordan terningen landende,« forklarer Carsten Knudsen.

\ Læs mere

Kan jeg bruge matematik til at vinde i Lotto?

Folkeskolens undervisning skal ikke ændres

Konklusionen er altså, at hverken møntkast eller terningkast er tilfældige, men derimod fysiske fænomener. Alligevel mener ingen af de danske eksperter dog, at vi behøver ændre på folkeskolens undervisning i sandsynlighedsregning.

»Statistisk set er forskellen så lillebitte, at du kan kaste mønten mange tusind gange uden at den lille procentforskel giver nogen effekt. Du kan jo godt få plat 10 gange i træk, selvom mønten starter med krone opad.«

»Ofte vil man også trække mønten op ad lommen og kaste den op i luften uden at vide, hvilken side der vender opad. Og i sådan et tilfælde betyder forskellen jo slet ingenting,« forklarer Carsten Knudsen.

Susanne Ditlevsen er enig i, at det er »helt fint«, når vi til daglig siger, at møntkast giver 50 procent chance for både plat og krone.

»Men efter at jeg nu har læst denne her undersøgelse, vil jeg da altid selv holde på den side, som mønten starter med at have opad. Det giver mig bare ingen sikkerhed for at vinde – for der er stadig næsten 50 procent chance for, at jeg ikke gætter rigtigt, « siger professor i matematik Susanne Ditlevsen.

\ Læs mere

Bliver straffesparkskonkurrencer afgjort af, hvem der sparker først?

\ Læs mere

Er tilfældighed naturens inderste væsen?