Sådan undgår man lange køer

På forskeren Kebin Zengs kontor i Lyngby hænger en hvid tavle, som er overtegnet med matematiske formler og funktioner. Det ser kompliceret ud, men det hele handler om at løse problemer, som de fleste kender – køen i supermarkedet eller ventetiden i busser og tog.

»Man kan sige, at jeg laver hverdagen om til matematiske modeller. Målet er i sidste ende at forbedre hverdagen, så folk ikke spilder tiden i køer og trafikpropper,« forklarer Kebin Zeng, som er ph.d.-studerende ved Institut for Informatik og Matematisk Modellering ved Danmarks Tekniske Universitet i Lyngby.

Hans forskning går ud på at forbedre de gængse matematiske modeller, som beregner sandsynligheden for køer i eksempelvis supermarkeder eller på posthuse.

»Man vil for eksempel kunne bruge vores modeller til at lave en app til Iphone, hvor man kan se, hvornår på dagen, man bør handle for at undgå lange køer. Eller om der er størst sandsynlighed for at ramle ind i en kø i Netto eller Føtex,« forklarer Kebin Zeng.

Kø ved telefonerne

Kebin Zeng fra DTU er langt fra den første, som laver matematiske modeller over ventetiden i køer. I matematikkens verden er beregning af køer en kendt disciplin, og den såkaldte køteori har mere end et århundrede bag sig.

Teorien blev grundlagt af den danske matematiker og ingeniør Agner Krarup Erlang, som også er kendt i udenlandske lærebøger om køteori.

Erlang var uddannet ved Københavns Universitet, og han blev i 1908 ansat ved telefonselskabet Kjøbenhavns Telefon Aktieselskab. Her studerede han sandsynligheden for, at alle telefonlinjer var optagne, således at datidens københavnere var nødt til at vente i kø ved røret.

Kan bruges til vagtplaner

Erlangs studier førte til udviklingen af en matematisk model, som senere blev brugt i adskillige lande til beregning af sandsynligheden for ventetid ved telefonlinjer. I dag er det blandt andet principperne fra Erlangs køteorier, som Kebin Zeng fra DTU videreudvikler.

»I min forskning forsøger jeg blandt andet at forbedre modellerne ved at lave distributioner, hvor man kan tage højde for, at der sidder både langsomme og hurtige medarbejdere ved kasserne i et supermarked,« siger Kebin Zeng.

Hans matematiske modeller vil for eksempel kunne bruges, når der skal laves vagtplaner i et supermarked.

»Praktisk set kan man for eksempel bruge modellerne, hvis ejeren af et supermarked bestemmer, at der maksimalt må være fem minutters ventetid i køen ved kassen. Ejeren kan selvfølgelig løse problemet ved at hyre en masse medarbejdere og have mange kasser åbne. Men det er dyrt, så derfor kan man i stedet bruge modellen til at finde den optimale mængde af kasser, som bør være åbne,« forklarer Kebin Zeng.

Ren sandsynlighedsregning

Køteorien er i virkeligheden en gren inden for en matematisk disciplin, som de fleste har bakset med i folkeskolen – sandsynlighedsregningen. Den sandsynlige ventetid i køen i et supermarked kan udtrykkes som en funktion af forskellige variable.

Disse variable kan for eksempel være antallet af åbne kasser, antallet af kunder i en given tidsperiode og antallet af kunder, som en bestemt kassedame kan betjene pr. minut.

Foreløbigt har Kebin Zeng kun lavet sine egne estimeringer af eksempelvis antallet af kunder i et supermarked på et bestemt tidspunkt på døgnet.

Han understreger dog, at hvis hans kømodeller skal bruges i praksis, skal hans funktioner først fodres med data fra den virkelige verden.

»Men den slags data er ikke svære at skaffe. Det er ren statistik, som kræver, at man eksempelvis laver nogle observationer i et supermarked. Det svære er at bygge modellerne, så de kan blive så præcise som muligt, når de skal beregne sandsynligheden for ventetider og kø,« siger Kebin Zeng.

Undgå trafikpropper

Ud over at sætte formler på supermarkedskøer, forsker Kebin Zeng også i, hvordan man kan lave matematiske modeller, som beskriver sandsynligheden for ventetider i offentlige transportmidler.

Som eksempel nævner han en rejse fra Nørreport Station i København til Lyngby. På denne rute vil trafikselskabernes almindelige system til ruteplanlægningen – Rejseplanen.dk – måske foreslå, at man tager en bus, hvis det (i forhold til de planlagte køretider) er den hurtigste mulighed for at nå frem.

»Men Rejseplanen tager ikke højde for fænomener som trafikpropper. Baseret på tidligere erfaringer kan man opstille modeller, som viser, at bussen med stor sandsynlighed vil blive forsinket, for eksempel i morgentrafikken. Derfor vil vores model kunne fortælle, at der er større sandsynlighed for at nå frem i tide, hvis man venter lidt længere på Nørreport og tager det næste S-tog frem for bussen,« siger Kebin Zeng.

Han forklarer, at man også kan bygge de matematiske modeller, så risikoen for aflysninger eller kø ved busstoppestedet indgår i ruteplanlægningen.

Supermarkeder kan hente software gratis

Til de matematiske modeller over trafiksystemer bruger Kebin Zeng dog ikke køteorien, men et andet værktøj inden for sandsynlighedsregning – de såkaldte Markovkæder.

Markovkæderne er et matematisk system, som er opkaldt efter den russiske matematiker Andrey Markov, og som er bredt anvendt inden for statistik og sandsynlighedsregning.

»Men uanset hvad, handler det hele om, at forbedre systemerne i vores liv, så vi ikke spilder tid og penge i køer,« siger Kebin Zeng.

Når hans ph.d.-projekt bliver færdigt i efteråret, vil hans matematiske modeller være indkodet i computersoftware. Hans projekt vil være tilgængeligt som såkaldt open source software – det vil sige, at programmerne gratis kan bruges og modificeres.

»Et supermarked kan for eksempel bruge modellen. De skal faktisk bare indsætte deres eget data, og så kan mit software levere resultaterne,« forklarer Kebin Zeng, der har udført forskningen med støtte fra MT-LAB.