Matematik bliver til filmmagi

Hvilken rask dreng eller pige har ikke siddet i en matematiktime, stirret på solskinnet og friheden udenfor og sukket: ‘men hvad skal man overhovedet bruge de her ligninger til’?

Et opmuntrende svar kunne være: Til at lave vilde eksplosioner og strålende fantasiuniverser!

Det nye årtusindes filmskabere kæmper med at gøre filmeffekter og 3D-animationer mere og mere overbevisende, og i dag må de vende sig mod matematikken, hvis de vil skabe de flotteste flodbølger og de blødeste hundehvalpe.

Matematikken erobrer Hollywood

I dag bruges computeranimation både til legesyge tegnefilm, eksplosive action-scener og fantastisk Science Fiction.

Og matematikken fungerer som en slags sprog, som kan oversætte fysiske fænomener til computerens harddisk – og derefter til biograflærredet.

»Mine kollegaer og jeg bruger matematik og geometri stort set hver dag,« fortæller Per Christensen, som er senior software-udvikler for det berømte animationsstudie Pixar.

»Virkelighedens verden er uhyre indviklet, og hvis vi ikke modellerer virkeligheden omhyggeligt, med den rigtige matematik og fysik, vil billederne ikke komme til at se realistiske ud.«

Svært at lave ild, røg og vand

En af de største udfordringer for animationsfilmen, er at lave overbevisende billeder af mere uhåndgribelige materialer, som for eksempel vand, ild og røg.

En artikel fra den kommende udgave af tidsskriftet AMS, American Mathematical Society, fortæller, hvordan man kan skabe eksplosioner, brusende bølger og blød pels ved hjælp af fysikkens love og nogle matematiske mellemregninger.

Mellemregningerne går ud på at lave ligninger og formler om til algoritmer, som er brugbare for en computer.

For eksempel kan man bruge Newtons love om bevarelsen af masse og momentum til at udvikle ligninger for, hvordan vand bevæger sig.

Og hvis man inddrager forskellige love for, hvordan partikler bevæger sig, kan man gøre bevægelserne i røg, vand og ild endnu mere realistiske.

Newton hjælper Pixar og co.

Matematiske formler kan også bruges til at beskrive forskellige former. En simpel version er cirklens ligning, som beskriver alle punkterne på cirklens overflade.

Men det er ikke nok at kunne gengive overflader og genstande. Man må også kunne regne ud, hvad der sker, når genstandene rammer hinanden.

Til det formål kan man bruge Newtons 2. Lov, ‘ligningen om bevægelse’, som han nedfældede for mere end 300 år siden.

Loven fortæller, hvordan et objekt bevæger sig, når det bliver påvirket af krafter udefra, og ligningen kan derfor beskrive, hvad der sker, når ting støder ind i hinanden.

Derfor kan den også bruges til at lave repræsentationer af hår, som jo netop er en hel masse små hårstrå, der bevæger sig og støder ind i hinanden.

Dansker opsporer lysstråler

En anden af computeranimationens store problemer har været at skabe kunstige filmbilleder, hvor lyset reflekteres ligesom i virkeligheden. Hos Pixar har Per Christensen været med til at udvikle en teknik til det formål.

Teknikken kaldes ‘Ray Tracing’, og det matematiske princip er ret enkelt: For at finde ud af, hvordan en stråle reflekteres, så må man finde ud af, hvor strålen rammer et andet objekt.

Det kræver at man finder skæringspunktet mellem linjen og objektets overflade, og det kan man gøre ved at løse en ligning.

Hvis overfladen er en simpel kugle eller et rektangel, så kan det være så simpelt som at løse en andengradsligning.

Blank billak og skinnende krom

Men i film bruger man typisk mere komplicerede former og overflader, og dermed kræver det mere indviklet matematik at finde skæringspunktet.

Derfor måtte computerne tidligere opgive at håndtere de enorme mængder geometriske beregninger, som en Pixar-film kræver.Men Per Christensen har været med til at udvikle algoritmer, som forenkler disse beregninger, så de nu kan bruges i praksis.

Algoritmerne er for eksempel brugt i filmene ‘Pirates of the Carribean’, ‘Op’ og ‘Biler’, og kommer også til at blive brugt i den længe ventede ‘Toy Story 3″.

»Det er nok filmen Biler, jeg er mest stolt af. For den film var det vigtigt at refleksionerne i bilernes krom og lak så helt rigtige ud,« forklarer Per Christensen.

Oscarvindende algoritme

Ray Tracing er god til at gengive blanke overflader, fordi de kun spejler lysstrålerne i en retning. Men for matte overflader kommer det reflekterede lys fra alle retninger, og derfor tager beregningerne meget længere tid.

Derfor fandt Per Christensen og hans kolleger en anden metode, hvor de lod alle overflader i en scene være repræsenteret af en sky af bittesmå, farvede punkter. Det forenkler computerens arbejde og er lettere at regne med.

For at gøre beregningerne endnu simplere, fandt Per Christensen ud af, at man kunne slå de små punkter sammen til større punkter, når de er langt fra hinanden. Og det var netop denne nye og smarte algoritme, som indbragte Per Christensen og to kolleger en Oscar tidligere på året.

Oscaren var en såkaldt ‘sci-tech-award’ – en videnskabelig-teknisk Oscar, og metoden er blevet brugt i Pixars ‘Op’, de seneste Harry Potter-film og mere end 30 andre film.

Matematikken må underordne sig kunsten

Mødet mellem matematik og filmkunst har indtil nu været frugtbart, og stærke computere og enkle algoritmer har fået udviklingen til at gå hurtigt. For bare ti år siden var det svært at forestille sig film som ‘Avatar’, ‘Op’ og ‘Pirates of the Caribbean’.

Men selvom den elegante matematik er nyttig, så er det ikke nok, når man skal skabe nye metoder til filmindustrien. Der skal også tages andre hensyn.

“Når vi udvikler metoder til nye visuelle effekter, er det meget vigtigt, at kunstneren kan ændre resultaterne på en forudsigelig og intuitiv måde. Det er ligegyldigt hvor smuk matematikken er, hvis filminstruktørerne ikke kan bruge metoden til at opfylde deres kunstneriske vision,” forklarer Per Christensen.

Per Christensen er en af mændene i front, når det gælder om at skabe livagtige og overbevisende billeder på film, og i februar vandt han en Oscar for sit arbejde for Pixar.

Vejen til filmindustrien begyndte, da Per Christensen blev interesseret i computergrafik under sin ingeniøruddannelse på DTU.

Bagefter tog han til Seattle for at læse til ph.d. i datalogi og skrive sin afhandling, og efter et par år hos filmselskaber i Berlin og på Hawaii, og i 2001 endte han hos Pixar.

Her arbejder han på programmet RenderMan, som bruges til at beregne billeder. Man giver programmet oplysninger om en scene: geometri, overfladernes farver, belysning, kameraets placering osv, og så regner RenderMan sig frem til et billede af scenen.

Programmet har udviklet sig gennem de sidste tyve år, og Per Christensen er med til at fortsat at forbedre det med nye funktioner og optimeringer

»Jeg betragter mig nærmere som en værktøjsmager, jeg laver værktøjer, så de kreative kunstnere kan lave de film, de vil. Men det er yderst tilfredsstillende at se en ny metode, som jeg har været med til at udvikle, blive brugt til at lave effekter som ikke var mulige før,« siger Per Christensen.