Et godt matematisk bevis er målrettet sit publikum

Vi er måske vant til at tænke på et matematisk bevis som en kæde af logiske slutninger fra aksiomer i et formelt, utvetydigt logisk sprog.

Men hvis vi kigger på de beviser, som matematikere faktisk laver, er det de færreste beviser, der ser sådan ud.

De fleste beviser er skrevet i et mere almindeligt sprog. De er desuden tilpasset læseren.

Og når der er tale om et bevis i matematisk forskning, er publikum endda med til at afgøre, om der overhovedet er tale om et bevis.

Hvornår er et bevis et bevis?

Den amerikanske matematiker Keith Devlin har således på sin populære blog om matematik skrevet, at matematiske beviser er de matematiske argumenter, som matematikere accepterer som beviser.

Som mange andre filosoffer gennem tiden vil jeg gerne kunne give en mere direkte beskrivelse af, hvad et matematisk bevis er.

I mit ph.d.-projekt har jeg derfor interviewet matematikere om beviser for at undersøge, hvordan beviser skal se ud for at blive accepteret som beviser af matematikere.

LÆS OGSÅ: Matematikken kan bryde sammen i morgen

Overraskelsen spiller ind

Jeg har interviewet syv matematikere om, hvordan de vurderer beviser, når de er fagfællebedømmere for matematiske tidsskrifter. Resultaterne er selvfølgelig foreløbige, fordi jeg kun har interviewet de syv.

Inden en forskningsartikel bliver udgivet i et tidsskrift, skal den bedømmes af en eller flere eksperter på området. Typisk skal disse fagfællebedømmere give artiklen en positiv bedømmelse, for at redaktøren på tidsskriftet vil publicere artiklen.

Et bevis for et matematisk forskningsresultat består af mindre beviser for delresultater. Mine interviews indikerer, at hvis et delresultat i sig selv er overraskende, skal beviset være mere detaljeret, end hvis delresultatet ikke er overraskende.

Fagfællebedømmere stiller således højere krav til beviset, hvis det er overraskende, at resultatet overhovedet gælder.

Men det kan også være beviset for delresultatet, der er overraskende. Hvis det er overraskende, at man kan bevise delresultatet på den pågældende måde, indikerer mine interview, at fagfællebedømmerne vil kræve, at beviset er meget detaljeret.

Alt dette falder meget godt i tråd med den amerikanske astronom Carl Sagans formulering:

'Ekstraordinære påstande kræver ekstraordinære beviser'.

LÆS OGSÅ: Dansk professor på MIT: Matematik kan bruges til (næsten) alt

Beviser er rettet mod et publikum

Hvorvidt forskellige dele af et bevis er overraskende afhænger af, hvem der vurderer det, og hvilken viden, de har.

Resultaterne fra mine interviews beskriver således, hvordan beviser er formet efter de læsere, de er rettet mod.

Mine interviews indikerer nemlig også, at et bevis skal være nogenlunde læsevenligt for de tiltænkte læsere, så de kan læse beviset inden for rimelig tid.

Det er for eksempel ikke nok, at der er tilstrækkeligt med detaljer til, at fagfællebedømmeren selv kan læse beviset inden for rimelig tid. Fagfællebedømmeren vurderer også, om andre eksperter vil kunne fange og forstå beviset relativt hurtigt.

Hvad er et bevis for dig?

På samme måde som forskningsmatematikere er med til at bestemme, hvornår et nyt påstået bevis er et bevis i det hele taget, har gymnasieelever noget at skulle have sagt i forhold til, hvornår et bevis er et bevis for dem.

De er ikke med til at bestemme, hvorvidt beviset er korrekt udført, men de har noget at skulle have sagt, i forhold til hvorvidt beviset er præsenteret, på en måde der er både overbevisende og forståelig for en gymnasieelev.

Det mener i hvert fald jeg og mine kollegaer Henrik Kragh Sørensen fra Københavns Universitet og Kristian Danielsen fra Aarhus Universitet, og vi har for nyligt udgivet en artikel om emnet.

Sig fra, hvis du ikke forstår din lærer!

Vi er nok mange, der kan huske oplevelsen af at blive sat af, når vores matematiklærer i gymnasiet gennemgik et bevis på tavlen. Måske sagde vi ikke noget, for vi ville ikke afsløre, at vi ikke havde forstået det.

Men vi er i vores gode ret til at sige noget, når vi bliver sat af, for vi er selv med til at afgøre, hvornår et bevis er et bevis for os.

Hvis gymnasieelever oplever, at de er med til at bestemme, hvornår et bevis er detaljeret nok til at være et bevis for dem, kan det i bedste fald give flere elever mod til at bede læreren om at uddybe, når hun tager skridt i et bevis, som de ikke forstår.

LÆS OGSÅ: En særlig form for evaluering gør elever markant bedre til matematik

LÆS OGSÅ: Et af de største matematiske gennembrud er ældre, end vi troede