Klokken er over midnat, men lyset på kontoret er stadig tændt. Her sidder en matematiker kun i selskab med sine bøger, papirer og tomme kaffekopper. Han burde gå hjem til sin kone og to små børn, men han er på sporet af noget stort.

Pludselig falder brikkerne på plads, og med lige dele rædsel og stolthed hvisker han til sig selv: 'Det er forbi'.

Matematikken er brudt sammen, og han fældede den.

Han har fundet en matematisk selvmodsigelse, altså et udsagn, der både er sandt og falsk på samme tid. En enkelt selvmodsigelse lyder måske uskyldig, men det betyder, at matematikkens grundlag ikke hænger logisk sammen.

Matematikken har hele tiden gemt på denne mørke hemmelighed, men først ved opdagelsen af selvmodsigelsen ser vi det. Uden et konsistent logisk grundlag kan alle udsagn bevises, og al vor matematiske viden kan altså både bevises som værende sand og usand. Nu er både 1 + 1 lig med 2 og ikke lig med 2.

Skrækscenariet er heldigvis ikke sket endnu. Vi håber stadig, at 1 + 1 = 2 og intet andet, men det vil ændre sig, hvis nogen en skønne dag opdager en selvmodsigelse.

Hvor ville det dog hjælpe på nattesøvnen, hvis vi kunne udelukke, at matematikken gemte på sådanne huller. Kunne matematikere ikke forsøge at bevise, at matematikken er konsistent?

Men hvor tragikomisk det end kan lyde, vil et bevis for konsistens i sig selv være en selvmodsigelse med katastrofen til følge! Forvirret? Så læs blot videre.

Matematikken bygges på aksiomerne

For at forstå hvordan man kan ødelægge matematikken, må vi forstå, hvordan den er bygget op.

I starten er der intet. Vi er den almægtige gud, der frit skaber de grundlæggende aksiomer, hvorpå alt andet bygges. Aksiomerne introducerer nogle helt grundlæggende matematiske begreber og udsagn, som er sande per definition i vores matematiske skaberværk.

Når vi er tilfredse med aksiomerne, stopper vi den guddommelige indgriben. Fra aksiomerne blomstrer nye udsagn nu frem. Hvis man kan vise, at et udsagn følger logisk af aksiomerne, siger matematikere, at udsagnet er bevist og dermed sandt i vores matematik-univers.

Fordi nye sandheder kan deduceres fra aksiomerne, siger man formelt, at matematik er aksiomatisk-deduktiv. Beviste udsagn danner logisk grundlag for nye udsagn, og således bygges matematikken op – logisk skridt for logisk skridt.

Illustration af aksiomer som de nederste mursten i et murværk, hvor nye mursten (matematiske udsagn) lægges ovenpå. (Illustration: Niels Jakob Søe Loft)

Vinkelsummen i en trekant afhænger af aksiomerne

Euklids geometri er et eksempel på et stykke tidlig matematik. Euklid skabte fem aksiomer, hvoraf det sidste aksiom (parallelpostulatet) lyder:

»For en given linje og et punkt, der ikke skærer linjen, findes der netop én anden linje, der går gennem punktet og ikke skærer den første linje (det vil sige, at linjerne er parallelle).«

Fra de fem aksiomer udledte han alle sine resultater – for eksempel at vinkelsummen i enhver trekant er 180 grader.

Euklid kunne have formuleret sine aksiomer anderledes. Eksempelvis giver en særlig modifikation af parallelpostulatet ovenfor ophav til en ikke-euklidsk geometri, hvor vinkelsummen i en trekant ikke er 180 grader.

Forskellige valg af aksiomer giver ophav til forskellige typer geometri, hvor vinkelsummen i en trekant enten er større end, lig eller mindre end 180 grader. Dette svarer til geometri på henholdsvis en kugle, et plan (Euklids version) og en hyperbolsk overflade. (Illustration: Niels Jakob Søe Loft)

 

Hvad ville der ske, hvis vi medtog alle tre versioner af parallelpostulatetet (se figuren lige herover)? Hvad ville vinkelsummen i en trekant så være?

Med adgang til alle tre versioner kan vi vise, at vinkelsummen både er mindre end 180 grader, lig med 180 grader og større end 180 grader.

Disse udsagn er i klar modstrid med hinanden. Altså har vores dårlige valg af aksiomer ført os til en selvmodsigelse, og denne geometriske teori er inkonsistent. Kunsten er at vælge få intuitive aksiomer, der giver mulighed for mangfoldige og interessante matematiske resultater, men samtidig er konsistent.

Russells paradoks udstiller problemerne

Hvad der ligner et solidt sæt aksiomer, viser sig måske først ikke at holde, når man har bygget matematikkens første etager. Så må bygningen rives ned, og fundamentet må genovervejes. Dette var netop, hvad matematikerne kæmpede med i starten af 1900-tallet.

Englænderen Bertrand Russell opdagede i 1901 et paradoks i mængdelæren, der tydeligt illustrerede problemerne i matematikkens fundament. Paradokset er simpelt nok at forstå, men det kræver, at man holder tungen lige i munden.

En mængde er blot en samling af et eller andet. Man kan tænke på en bog som en mængde af ord. Man kan også have en mængde af mængder, så et bibliotek (en mængde af bøger) kan være en mængde af mængder af ord.

Kan en mængde indeholde sig selv? Ja, for mængden af alle mængder er i sig selv en mængde, og derfor må den være indeholdt i mængden af alle mængder (sig selv).

Russell betragtede det modsatte: mængden af mængder, der ikke indeholder sig selv. Lad os kalde den mængde X. Spørgsmålet er da, om X indeholder sig selv?

Lad os se på begge mulige udfald af dette ja/nej-spørgsmål.

Først, hvis X indeholder sig selv, vil den per definition af X være blandt de mængder, der ikke indeholder sig selv. Dette tilfælde giver altså ikke mening.

På den anden side, hvis X ikke indeholder sig selv, vil den være udenfor de mængder, der ikke indeholder sig selv, og derfor må den indeholde sig selv. Dette tilfælde giver helle ikke mening, så i begge tilfælde ender vi med en modstridig konklusion. Paradokset er tilvejebragt.

For at slippe udenom Russells paradoks måtte matematikerne revurdere hele mængdelæren. Anstrengelserne resulterede i ni aksiomer, kendt som ZFC efter skaberne Zermelo og Fraenkel, samt det kontroversielle niende udvalgsaksiom ('Axiom of choice').

ZFC-systemet er i dag grundlaget for hele den moderne matematik.

Nok reparerede man lækket fra Russells paradoks, men kunne der være uopdagede huller? Dette spørgsmål voldte den tyske matematiker David Hilbert store hovedbrud, og han arbejdede i årevis på at bevise konsistensen af det grundlæggende sæt aksiomer.

Det lykkedes ham aldrig.

Kurt Gödel knuser drømmen

Anført af Hilbert håbede mange at kunne frembringe et konsistent grundlag for hele matematikken. I 1931 rev den østrigsk-fødte matematiker og logiker Kurt Gödel dog tæppet væk under drømmen om en sådan tæmmet matematik.

Matematikeren Kurt Gödel viste med sine ufuldstændighedssætninger, at der må eksistere påstande, som er sande, men ikke kan bevises. (Foto: WikiMedia Commons)

Gödel havde nemlig opdaget grundlæggende mangler i selve den matematiske metode, der umuliggjorde ethvert forsøg på at finde et konsistent grundlag.

Styrken ved Gödels resultat, der er kendt som Gödels to ufuldstændighedssætninger, er, at de udtaler sig om generelle formelle logiske systemer. Det er meta-matematik: Matematiske love for alle tænkelige matematikker.

Selvom vi er almægtige matematikguder, når vi vælger aksiomerne, er vi underlagt Gödels sætninger. Man kan altså ikke omgå konsekvensen af dem ved at lappe på aksiomerne, for Gödels sætninger gælder, uanset hvordan vi vælger dem. Selv matematikguderne må følge Gödels spilleregler.

Gödels sætninger gælder for alle matematikker, som indeholder de naturlige tal, 1, 2, 3 og så videre, hvilket kort sagt vil sige alle matematikker, der er interessante at studere.

De to (frustrerende!) ufuldstændighedssætninger

Gödels første ufuldstændighedssætning var et frontalangreb på én af datidens centrale antagelser: At ethvert matematisk udsagn kan bevises eller modbevises. Sætningen siger, at dette er forkert:

»Ethvert formelt system (der indeholder aritmetik med de naturlige tal) indeholder udsagn, der hverken kan bevises eller modbevises.«

Matematikken indeholder mange ubesvarede spørgsmål, eksempelvis hvorvidt Goldbachs formodning, der siger, at ethvert heltal større end to kan skrives som summen af to primtal, er sand eller ej.

Måske er Goldbachs formodning et af de udsagn, Gödels første ufuldstændighedssætning siger, vi aldrig kan bevise eller modbevise. Det kan også være, at vi finder svaret i morgen. Frustrationen ligger i, at så længe vi ikke har fundet et svar, kan vi ikke være sikre på, at det kan findes.

Gödels anden ufuldstændighedssætning dræber ethvert håb om at sikre konsistens:

»Et sådant formelt system kan ikke bevise sin egen konsistens (såfremt, det er konsistent).«

Sidder vi med en konsistent matematik, kan vi altså ikke bevise, at det faktisk er konsistent. Hvad vil det så have betydet, hvis det var lykkedes Hilbert at bevise, at ZFC-systemet er konsistent? Hvis systemet var konsistent, så siger Gödels anden sætning, at et sådant bevis er umuligt. Altså måtte systemet være inkonsistent!

Det er altså kun inkonsistente systemer, der kan bevise sin egen konsistens, hvilket illustrerer deres løgnagtige og forræderiske natur – her kan alle udsagn bevises.

Matematisk dommedag?

Endnu har ingen aflivet ZFC-systemet enten direkte ved at finde en modstrid, eller indirekte ved at bevise systemets egen konsistens. Dog kunne det ske i morgen i et scenarie som beskrevet i denne artikels indledning.

Hvis matematikken bryder sammen i morgen, forsvinder det logiske fundament for kendsgerninger som 1 + 1 = 2. Det betyder dog ikke, at vores computere bryder sammen, eller at flyene falder ned fra himlen, for folk brugte 1 + 1 = 2, længe før ZFC-systemet gjorde os i stand til at beviste det.

Dog må matematikerne revurdere de grundlæggende aksiomer og danne et nyt fundament for 1 + 1 = 2.

Matematikkens aksiomer kan vælges vilkårligt, men dens praktiske anvendelighed opstår kun, når de afspejler vores virkelige verden, herunder at sikre at 1 + 1 = 2.

Dommedagen vil altså primært så tvivl om de abstrakte dele af matematikken, der ikke er bundet op på praktiske erfaringer.

Det bedste, vi kan håbe på, er, at ZFC-systemet er konsistent, og en sådan dommens dag aldrig indtræffer. Men vi kan aldrig være sikre.

Vi må acceptere, at uvished er et matematisk grundvilkår.