Ét spørgsmål har splittet forskere i mere end 50 år: Kommer egenfrekvenserne virkelig i par?

For ret præcis 102 år siden, i 1921, udviklede en forsker ved navn S.P. Timoshenko en model til at beskrive, hvordan bjælker svinger.

Hvad kan man bruge sådan en model til? Svaret er, at den kan bruges til alt muligt. Fra en komponent i en harddisk til en elmast langs togbanen.

I begge tilfælde vil man gerne kende de såkaldte egenfrekvenser, og det kan modellen regne ud.

Ofte vil man gerne kende egenfrekvenserne for at være sikker på, at delene ikke rasler fra hinanden, når harddisken arbejder på højtryk.

Eller at elmasten alligevel bliver stående, når vinden hyler.

Netop fordi man har designet begge til at egenfrekvenserne ikke ’slås an’.

Egenfrekvenser: En konstruktions helt egen rytme

Egenfrekvenser kan ses som de takter, en konstruktion gerne vil danse til. Hver konstruktion har sine egne. Når en konstruktion danser ved en egenfrekvens, kalder vi det resonans.

Svingningerne resonerer nemlig ved en egenfrekvens. De forstærker altså sig selv. Det kræver således meget få kræfter at få en konstruktion til at svinge ved netop en egenfrekvens.

Du kender det måske fra et vibrerende vinglas. Hvis du kan holde den rette tone, altså glassets egenfrekvens, kan det vibrere så kraftigt, at det til sidst kan gå itu. Det lykkes for eksempel for Bianca Castafiore i Tintin.

Går vi i den ’rigtige’ takt, kan det gå rigtig galt

Et kendt eksempel er Millennium Bridge i London. Den begyndte på sin åbningsdag at gå i egensvingninger, blot fordi folk gik på den i takt - men netop den ’rigtige’ takt.

Broen måtte lukke og genåbnede først knap to år senere, hvor ingeniørerne havde rettet op på fejlen.

For at forstå hvorfor det gik så galt, må vi lige dykke ned i fysikken bag svingninger.

En bro er ikke meget forskellig fra en bjælke. En bjælke kan også svinge, som det er vist i animationerne her:

Når noget svinger i en takt, har det altså også en form. Forstil dig nu at billedet i animationerne fryser. Det du nu ser kalder vi egensvingningsformer. Nu har vi et sæt, som vist nedenfor: En frekvens og en form som følges ad.

Egenfrekvenser opstår som perler på en snor

Tilbage til Timoshenkos model. Det er en rigtig god model. Som sagt kan den beregne egenfrekvenserne. Det er smart, for så vi kan designe vores broer, så vi undgår den bævrende Millennium-Bridge-situation.

Modellen er indbygget i kommercielle computerprogrammer og kan hjælpe ingeniører med at designe alt fra høreapparater til højspændingsledninger. Den er særligt god til korte, tykke bjælker.

Der er bare lige det, at den faktisk forudser en kritisk frekvens. Over denne kritiske frekvens ændrer alt sig.

Normalt kommer egenfrekvenser lidt som perler på en snor: for eksempel ved 400 Hz, 1000 Hz, 3000 Hz og så videre.

Men efter den kritiske frekvens, kommer de ifølge modellen pludselig i par tæt efter hinanden: 17.3kHz og 17.5kHz og igen 18.3 kHz og 18.5 kHz. Det er illustreret i figuren nedenfor.

Hvorfor er denne drastiske ændring interessant? Det er den, hvis vi gerne vil undgå at noget svinger højfrekvent, eller modsat sikre, at det gør. Uanset om målet er det ene eller det andet, bliver vi nødt til at kende mønsteret for egenfrekvenserne, for at ramme plet.

I de fleste anvendelser arbejder man dog langt under den kritiske frekvens, og så behøver man ikke forholde sig til problemet. Men.

Vi kunne ikke måle, hvem der havde ret

I årtier har man diskuteret, hvad det betød. Nogle forskere argumenterede for at modellen ikke var gyldig over den kritiske frekvens, andre mente det stik modsatte.

Man forsøgte også at lave eksperimenter for at få svar, men her kom man lidt til kort. Man kunne nemlig ikke måle svingningsformerne i særlig mange punkter, og dermed kunne man ikke opnå en høj nok opløsning til at skelne de komplicerede former fra hinanden.

Moderne laserteknik baner vejen

I dag har vi fået flere måleværktøjer til rådighed. På DTU har vi, bevilget af VILLUM Fonden, en skannende laser.

Skannende vil sige, at laseren kan måle hastigheden i et punkt, rykke sit laserlys og måle i et nyt. På den måde kan man måle, hvordan noget svinger i virkelig høj opløsning. Det er kanonsmart.

Jeg ville finde ud af, om Timoshenkos frekvenspar virkelig fandtes, og om modellen forudså dem og deres tilhørende svingningsformer rigtigt.

Min bjælke var høj, smal og af messing, og det var der en særlig grund til. Den kritiske frekvens afhænger nemlig både af materialet og af tværsnittet af bjælken.

For at få bjælken til at svinge, brugte jeg en rystemaskine som vist på billedet.

Med denne messing bjælke kunne jeg måle de første 24 egenfrekvenser og deres former, hvor 10 var over den kritiske frekvens, ved at måle bjælken i hele 160 punkter (illustreret med blå prikker i figuren nedenfor).

Det er ret forbavsende, hvor godt de blå prikker passer med modellens grå streg.

Egenfrekvenserne kommer også i par, netop som Timoshenkos model forudser. Der er kun en mindre forskydning af de målte parfrekvenser i forhold til modellens.

Forskydningen er næsten konstant på cirka fem procent: Modellen er altså ikke perfekt, men det er jo netop også matematisk model og ikke virkelighed.

Målet med vores modeller er som oftest at indfange de vigtigste egenskaber med så få greb som muligt.

Og det lykkedes for Timoshenko: Formerne passer, og frekevensparrene forudsiges.

Når man så også har i mente, at alle disse forudsigelser er baseret på én enkelt differentialligning, er det ret imponerende.

Et svar udløser ofte et nyt spørgsmål

Forskning er sjældent sort og hvid. Jeg har undersøgt en bjælke som hang i elastikker. Den svævede ’frit’, som vi kalder det. En bjælke kan også være spændt fast i enderne, og det ændrer på en del.

Vi har stadig til gode at undersøge, om Timoshenkos frekvenspar og former også holder stik under andre betingelser.

Skal vi undgå det eller udnytte det?

Hvad kan vi så bruge dette besynderlige fænomen til? Det er et godt spørgsmål.

Inden for vibrationer og svingninger er der to hovedgrene: Enten vil man gerne undgå svingninger, eller også vil man gerne udnytte, at noget svinger ved en bestemt frekvens.

Det første gælder broer, højhuse og flyvemaskiner.

Det andet gælder eksempelvis lyddæmpende hovedtelefoner og rysteborde, der bruges til at sortere eller blande alt fra nødder til møtrikker. Her bruger man aktivt egenfrekvenser til at sætte ting i bevægelse.

Man kunne forestille sig, at vi kan bruge, at afstanden mellem egenfrekvenserne er anderledes over den kritiske frekvens end under. Enten fordi vi gerne vil ligge mellem parrene for at undgå bevægelse, eller fordi vi vil udnytte, at to svingningsformer er tæt på hinanden i frekvens for at skabe bevægelse.

Det hele med blot en enkelt ligning

Sandheden er dog, at jeg endnu ikke ved præcis, hvad vi kan bruge disse frekvenspar til, men det er da fascinerende, at fænomenet findes.

Et fænomen vi vel og mærke ofte hverken selv kan se eller høre. Det til trods kan vi altså beskrive det blot ved en enkelt differentialligning:

Elegant ikke? Det synes jeg.

Disse forsøg har fremfor alt givet os en bedre grundlæggende forståelse for højfrekvente svingninger.

Når vi forstår svingninger bedre, kan vi bedre udnytte eller undgå dem, når vi designer fremtidens hovedtelefoner, broer eller noget helt tredje.

Personligt gætter jeg dog på, at Timoshenko udledte sin differentialligning, fordi han var nysgerrig og simpelthen gerne ville forstå svingninger bedre. Det ville jeg i hvert fald ikke fortænke ham i.

Dette arbejde er udført i samarbejde med lektor Jon Juel Thomsen, DTU Construct. Udarbejdningen af denne artikel er støttet af en bevilling (41392) fra Villum Fonden.