Ved du, hvor mange tal der er?

Tal omgiver os hele tiden. Tænk bare over, hvor mange du ser hver dag – på ure og kalendere, benzinpriser og udsalgsskilte, hastighedsbegrænsninger og pengesedler.

Og tænk så på, hvor mange flere tal du aldrig ser eller skal forholde dig til, selv om de styrer trafiklyset på hjørnet, computeren foran dig, finansloven og så videre.

Vi anvender selvfølgelig tallene til at tælle med: Jeg er for eksempel enebarn, hvorimod Søren Brun og hans søster Nina fra tegneserien Radiserne er to søskende, men samtidig kun et søskendepar.

Andre gange benytter vi tal til at måle med: Vi kan angive, at længden af en basketballbane skal være 28 meter, eller at spændingen i det danske vekselstrømsnetværk er 220 volt.

Det er begge præcise måder at beskrive verden på – som den er, eller som vi ønsker den.

Det kunne se ud til, at måling og tælling er forskellige, men egentlig er måling bare en specialiseret form for tælling: Basketballbanens længde måler vi os for eksempel frem til ved at tælle en meter 28 gange.

Med tal kan vi sætte verden i system

Takket være tal kan vi også registrere og sætte verden i system.

Vi er vant til, at busser har numre, vi danskere bliver fra fødslen alle udstyret med et CPR-nummer, kanalerne på mit tv har numre, og min pinkode til dankortet er et firecifret tal.

Ingen af disse tal kommer direkte fra en optælling eller en måling, men de er yderst nyttige redskaber alligevel. De gør det muligt at registrere og kommunikere informationer på en kompakt og entydig måde.

Når basketballbanen skal være netop 28 meter lang, er det jo ikke, fordi amerikanske superstjerner som LeBron James og Steph Curry ikke kan spurte længere: Det er udtryk for en konvention eller en regel, som vi formulerer mest præcist ved hjælp af tal.

På den måde kan kampens dommere tjekke, om den er overholdt, og banens spillere kan tilpasse deres løb og afleveringer til banens standardiserede mål.

En yard holder ikke en meter

Men de rene tal, som er så vigtige i alle mulige sammenhænge, bærer ingen mening i sig selv. Selv hvis jeg fik at vide, at jeg skulle udmåle en længde, og at den skulle være 28, ville jeg ikke kunne stille noget op.

Jeg er nødt til at have en enhed som meter eller alen med, hvis jeg skal anlægge en basketballbane på 28 meter.

Når tallene skal måle noget, er det altså afgørende, at vi husker, hvad det er, de angiver. Det har kostet dyrt, når vi har glemt, om for eksempel længder var angivet i metriske eller engelske enheder.

Banal fejl kostede NASA dyrt

Da det amerikanske rumfartsagentur NASA tabte forbindelsen med Mars Climate Orbiter 23. september 1999, måtte det afskrive en investering på 125 millioner dollars.

Man skulle tro det var løgn, men årsagen var ret banal, og NASA’s rumforskere opdagede den ret hurtigt: En underleverandør havde leveret et såkaldt banekorrektionsmodul, som regnede i engelske enheder som pounds og yards.

Alt andet udstyr på rumsonden regnede desværre med metriske enheder som kilogram og meter. Så når banekorrektionsmodulet læste tal fra sondens målere, blev tallene fejlfortolket.

Ingeniørerne opdagede fejlen og indbyggede forbehold i modulet, men i løbet af den 286 dage lange rejse til Mars havde afvigelserne hobet sig så meget op, at sonden kom cirka 150 kilometer for lavt ind i banen om Mars.

Med det resultat, at sonden enten brændte op i Mars’ atmosfære eller fortsatte ud i rummet uden for jordens rækkevidde.

Alting har en ende

Talteoretikere opdagede allerede i antikken, at større tal kan være sat sammen af mindre tal. 12 består for eksempel af 4 og 3. De små tal er de større tals byggesten, og mørtlen består i, at vi ganger de små tal med hinanden.

Nogle af de mindre tal kan også være sammensat af endnu mindre tal. 4 består jo faktisk af 2 gange 2. Og derfor kan vi skrive 12 som 3 gange 2 gange 2.

Men alting har en ende, som Shu-bi-dua synger. På et tidspunkt kan vi ikke længere splitte tallet op i to andre hele tal, og så har vi et primtal.

Primtallenes matematiske mysterier

Vi ved, at der er uendeligt mange primtal, og vi kan let opremse de første stykker: 2, 3, 5, 7, 11, 13. Men deres præcise fordeling er fortsat et af de største matematiske mysterier, som ikke engang det indiske talgeni Ramanujan kunne løse helt og aldeles.

Matematikerne har ved hjælp af enorme supercomputere endda fundet primtal, der kræver mere end 22 millioner cifre. Og vi vil altid kunne fremtrylle et endnu større primtal.

Til sammenligning kan vi nøjes med blot 13 cifre til at skrive Danmarks bruttonationalprodukt.

Primtallene er som tallenes byggesten helt fundamentale: De er de mindste indbyggere i tallenes ideelle verden og derfor også helt universelle: Primtal er primtal helt uafhængigt af, om vi skriver det i vores titalspositionssystem eller med romertal.

Primtal er derfor primtal i alle verdens kulturer, til alle tider og overalt i universet.

Da astronomer fra NASA begyndte at søge efter intelligent liv i universet, faldt de da også snart over primtal som det mest præcise redskab til at opsøge kontakt med andre livsformer. Dog stadig uden held.

Cantors uendelige uendeligheder

Når tallene nu selv er det, der tæller, kan det virke forvirrende, hvis jeg stiller spørgsmålet »hvor mange tal er der?«.

Jeg kan huske, at jeg i tiårsalderen blev klar over, at der måtte være uendeligt mange tal. For hvis jeg troede, at jeg havde fat i det allerstørste tal, så var der alligevel et andet tal, der var 1 større. Så spørgsmålet kunne se ud til at være ganske barnligt.

Men mange erfarne matematikere har stillet det samme spørgsmål og faktisk også fundet svaret.

I 1800-tallet benyttede den tyske matematiker Georg Cantor sig af spørgsmålet til at spekulere over, hvad uendelighed er for et begreb. For ham udgjorde de naturlige tal, altså tallene 1, 2, 3 og så videre, det oplagte grundlag for at tænke store tanker om uendelighed.

Men hvordan med de andre slags tal – de hele tal, som altså også kan være negative, de lige tal og brøkerne? Hvor mange er der af dem, hvis vi forsøger at tælle dem? De lige tal er jo en del af de hele tal, så der er vel færre lige tal end hele tal?

Hvor forunderligt det ellers lyder, fandt Cantor ud af, at denne intuition er forkert: Der er i en præcis matematisk forstand lige så mange naturlige tal, som der er hele tal, lige tal og ulige tal.

Dermed gik Cantor imod den tanke, at en del af noget er mindre end helheden – i hvert fald når det gælder uendeligheder.

Cantors største opdagelse

Cantor byggede sin konklusion på, at han kunne definere, hvad det vil sige, at to mængder er lige store.

Cantor indså, at det centrale i at tælle består i at parre alle mulige talte ting – appelsiner, bøger eller mennesker – med de naturlige tal, en efter en.

Så to mængder er lige store, forklarede han, hvis man kan parre alle elementer i de to mængder med hinanden, uden at nogen af dem bliver tilovers eller får to partnere.

Cantors største opdagelse var dog en fantastisk konstruktion, som satte ham i stand til at skabe stadig større uendeligheder.

Når han tog en uendelig mængde og betragtede alle dens delmængder, så var der uendeligt mange af dem. Men alle delmængderne kunne han ikke parre med elementer fra den oprindelige mængde, hvorfor antallet af delmængder måtte være større end den oprindelige mængde.

På den måde kunne Cantor bevise, at mængden af reelle tal er af en større uendelighed end mængden af de hele tal.

Naturlige tal er utilstrækkelige til at tælle de reelle tal

Vi kan også skrive alle reelle tal som decimaltal, og for nogle af dem som fx pi er vi nødt til at medtage uendeligt mange decimaler.

Hvis vi nu forestiller os, at vi har lavet en uendelig, men tællelig, liste af alle de reelle tal mellem 0 og 1, så præsenterede Cantor en metode til at generere et nyt reelt tal, som også ligger mellem 0 og 1, men som ikke står på vores liste.

Vi skal nemlig bare skrive det tal op, som på den første decimal afviger fra den første decimal i det første tal fra listen, på den anden decimal afviger fra den anden decimal i det andet tal fra listen og så videre.

Det tal, som vi danner på den måde, vil jo ikke være lig med noget tal fra listen, og derfor er de naturlige tal utilstrækkelige til at tælle de reelle tal; selv bare dem, der ligger mellem 0 og 1.

Kan tal skabe kontakt til det guddommelige?

Og Cantor kunne blive ved med at generere nye uendeligheder. Det fik ham til at henvende sig til pave Leo XIII i 1880’erne: De to var vel de mennesker i hele verden, der vidste mest om uendeligheden, tænkte Cantor.

Men selv om Cantor opfattede matematikken som den mest stringente vej til indsigt i evigheden og det guddommelige væsen, så nærede paven ikke lige så høje tanker om matematikkens velsignelser, og han svarede aldrig Cantor personligt.

Cantor var inspireret af den oldgræske filosof Platon. I sine skrifter deler Platon verden op i en håndgribelig verden, som vi lever i med regnemaskiner og revisorer, og ideernes verden, hvor der ikke eksisterer konkrete heste, havregrynskugler eller grønthøstere, men hvor essensen af disse fænomener og alle andre har hjemme.

Den håndgribelige verden er forgængelig og uperfekt, men i ideernes verden hersker en guddommelig orden.

Og i Platons optik hørte tal og matematik selvfølgelig til i ideernes verden. Derfor var det også ved at blive gode venner med tallene, at vi mennesker kunne erkende det guddommeliges væsen.

Men den slags talmæssigt tankespind ville paven altså ikke ophøje til teologisk hjælpemiddel cirka 2.500 år senere, da han modtog Cantors afhandlinger.