Renæssancens matematik

De græske tanker og idéer i filosofi og matematik slog for alvor igennem i Europa ved slutningen af den middelalderlige periode.

De klassiske græske tekster om geometri og talteori samt de tekster om algebra og trigonometri, som blev udviklet af araberne, blev oversat til latin og derved almindelig kendt blandt lærde folk.

Oprettelsen af mange nye universiteter i kombination med opfindelsen af bogtrykkerkunsten og dermed øget tilgængelighed af masseproducerede bøger om matematik skubbede yderligere til denne udvikling.

Blandt de indflydelsesrige bøger kan nævnes Libro de Algebra publiceret i 1532 af den berømte portugisiske matematiker Pedro Nunes (1502-1578), Arithmetica Integra publiceret i Tyskland 1544 af Michael Stifel og den første engelske algebratekst The Whetstone of Witte, hvori tegnet ‘=' for lighed blev indført, publiceret i 1557 af Robert Recorde.

Det var alt sammen del af en meget bredere åndelig opvågnen, der spredte sig igennem Europa i det sekstende århundrede fra Italien, i særdeleshed Firenze, hvor de stolte bidrag til kultur og civilisation i det antikke Grækenland og i Rom blev beundret. Fra omkring 1500 bliver perioden kaldt renæssancen, som betyder ‘genfødsel'. I løbet af renæssancen begyndte europæerne at bidrage med nye resultater og opdagelser i matematikken, og frem til omkring 1940 var Europa centrum for den matematiske udvikling.

Løsningen af kubiske ligninger

En tidlig matematisk landvinding i renæssancen var opdagelsen af løsningsalgoritmen til forskellige typer af algebraiske ligninger af grad 3 gjort af Scipione del Ferro (1465-1526) og Niccolo Tartaglia (1500-57). Metoden, som araberne forgæves havde eftersøgt, blev publiceret af Girolamo Cardano (1501-1576) i hans Ars Magna (1545) sammen med løsningsalgoritmen til algebraiske ligninger af grad 4 opdaget af Ludovico Ferrari (1522-65). I formlen for den kubiske ligning kan der optræde kvadratrødder af negative tal. Dette motiverede Rafael Bombelli (1526-72) til i et arbejde om algebra fra 1572 at udvikle en teori for regning med sådanne tal.

Mange matematikere betragtede de nye tal som mystiske, og den franske filosof René Descartes (1596-1650) kaldte dem i et arbejde fra 1637 for imaginære tal. De forblev mystiske, til danskeren Caspar Wessel (1745-1818), tyskeren Carl Friedrich Gauss (1777-1855) og franskmanden Jean-Robert Argand (1768-1822) omkring 1800 viste, hvordan de kunne anskues som punkter i en plan. Det var Gauss, som først benævnte disse nye tal komplekse tal (i betydningen sammensatte tal), som vi nu kalder dem, i et arbejde fra 1831.

Matematik inspireret af anvendelser

Mange matematiske landvindinger i renæssancen blev udviklet i forbindelse med anvendelser i meget forskellige områder, såsom brugen af perspektiv i kunst (Brunelleschi, Alberti, Leonardo da Vinci og Dürer), bidrag til teorien for musik samt geometri til navigation og kartografi (G. Mercator). Specielt stimulerede astronomi en interesse for plangeometri og sfærisk geometri, som det eksempelvis kan ses i værket De Triangulis Omnimodis fra 1464 (trykt i 1533) af Regiomontanus, latinsk pseudonym for Johannes Müller (1436-76).

I det sekstende århundrede var regning med kugleramme og regning med romertal blevet afløst af udregninger på papir med de hindu-arabiske talsymboler. Endvidere genopdagede den belgiske matematiker Simon Stevin (1548-1620) i 1585 decimalbrøkerne, som de arabiske matematikere tidligere havde brugt dem, og han publicerede i 1610 en bog om emnet.

Det krævede imidlertid stadig et stort arbejde at udføre multiplikationer af store tal, som det var nødvendigt i astronomi. Dette problem blev afhjulpet med opdagelsen af logaritmer i begyndelsen af det syttende århundrede, uafhængigt af John Napier (1550-1617) og Henry Briggs (1561-1631), som opfandt logaritmer med grundtallet 10, hvilket fik enorm betydning for astronomer og navigatører. Logaritmer var også nøglen til konstruktionen af matematiske instrumenter som regnestokken fra omkring 1630.

Matematik og den videnskabelige revolution

Fra omkring 1600 og fremad var europæiske videnskabsfolk overbevist om betydningen af matematik i studiet af naturen, og de enorme fremskridt i naturvidenskaberne i det sekstende og syttende århundreder var i stor udstrækning baseret på brugen af det matematiske sprog ved modellering af fænomener fra naturen.

Denne udvikling var på mange måder stimuleret af diskussionen om planetsystemet, i særdeleshed vedrørende den heliocentriske teori, der blev genoptaget og beskrevet af Kopernikus (1473-1543) i hans bog De revolutionibus orbium coelestium (Om himmelsfærernes kredsbevægelser), som udkom umiddelbart for hans død. På Kopernikus' tid var det generelt accepteret, at planetsystemet kunne beskrives ved en mekanisk model med Jorden i centrum (den geocentriske model) udviklet af de gamle græske astronomer over adskillige århundreder og sammenfattet af Ptolemæus (ca. 100-178 e.Kr).

Med de senere forbedringer af arabiske astronomer gav det ptolemæiske system, som modellen kaldes, med stor præcision en beskrivelse af bevægelserne af de planeter, der var kendt på Kopernikus' tid. Systemet var imidlertid efterhånden blevet så kompliceret, at Kopernikus forkastede den geocentriske model for planetsystemet til fordel for den mere æstetisk tiltalende model med Solen i centrum (den heliocentriske model); en heliocentrisk model for planetsystemet var allerede blevet foreslået som en hypotetisk mulighed af Aristarchus fra Samos (ca. 310-230 f.Kr.).

Tycho Brahe (1546-1601) var ikke stemt for det kopernikanske system og foreslog i stedet sin egen variant, hvor Månen og Solen roterer omkring Jorden, mens de andre planeter, som i det kopernikanske system, roterer omkring Solen. Tychos mange astronomiske observationer blev fortolket af hans samarbejdspartner Johannes Kepler (1571-1630), som opdagede den sande natur af planeternes bevægelser rundt om Solen og for stedse huskes for sine tre love for planetbevægelser formuleret i værkerne Astronomia Nova (Den nye astronomi) (1609) og Harmonices Mundi (Verdensharmonierne) (1619).

Brugen af matematik blev først fuldt udnyttet af de store naturvidenskabsmænd Galileo Galilei (1564-1642) og Isaac Newton (1642-1727) i forbindelse med formuleringen af de grundlæggende love for mekanikken. Galileo er måske bedst kendt for sine studier af legemer i fald. Det for eftertiden mest betydningsfulde af Galileos arbejder er hans bog To nye videnskaber (1638) om mekanik, hvori han diskuterede lovene for uniform og accelereret bevægelse og forklarede, hvorfor banen for et projektil må være en parabel.

Newtons største bedrift er utvivlsomt hans opdagelse af, at planetbevægelser og meget andet er bestemt af en universel lov, den inverse kvadratlov, for gravitation: Tiltrækningskraften mellem to legemer er proportional med produktet af deres masser og reciprokt med kvadratet på deres indbyrdes afstand. I sin Principia mathematica (1687), måske det mest betydningsfulde videnskabelige værk til alle tider, brugte Newton denne lov til at forklare Keplers tre love om elliptisk planetbevægelse og til at forklare kometbaner, tidevandsbevægelser samt Jordens fladtrykning omkring polerne forårsaget af rotationen omkring jordaksen.

Studiet af astronomiske fænomener blev stærkt forbedret med den hollandske opfindelse af teleskopet (kikkerten) omkring 1600. Konstruktionen af teleskopet blev forbedret af Galileo i 1609, som brugte sit teleskop, der var baseret på refraktion (lysbrydning), til astronomiske observationer. Teleskoper baseret på refraktion har imidlertid en alvorlig farvedefekt (kromatisk aberration), som bevirker, at forskellige farver i et billede ikke passer sammen. Problemet blev løst i 1668 med Newtons opfindelse af spejlteleskopet, hvor objektivet erstattes af et parabolsk hulspejl, som ikke har denne farvedefekt.

I forbindelse med det banebrydende arbejde om at forstå den mekaniske verden blev nye matematiske idéer og begrebet udviklet. De to vigtigste matematiske opdagelser af varig betydning var idéen om analytisk geometri (koordinatgeometri) og udviklingen af metoder til differentiation og integration, også kaldet infinitesimalregning.

Analytisk geometri

Et stort spring fremad i abstraktionen af matematiske tanker blev taget af Francois Vièta (1540-1603) og Thomas Harriott (1560-1621), som vendte algebra fra kun at beskæftige sig med konkrete eksempler på ligninger til studiet af generelle typer af abstrakte ligninger med brug af forskellige symboler for kendte størrelser og ukendte størrelser. Det blev efterfulgt af et tilsvarende spring fremad i geometri ved arbejde af Descartes, som demonstrerede, hvordan generelle geometriske problemer kunne analyseres ved algebraiske metoder. Eksempelvis kan keglesnittene beskrives ved algebraiske ligninger af anden grad i to variable.

Det var et hovedpunkt for Descartes at opnå en sådan algebraisk beskrivelse af keglesnittene for at befri studiet af disse geometriske objekter fra de geometriske argumenter hos Euklid og Apollonius, som han kritiserede for at mangle en generel metode. Descartes opnåede sit mål ved at indføre koordinatsystemer og ved at skabe den nye gren analytisk geometri (koordinatgeometri) af geometrien, hvortil han lagde grunden i et appendiks La Géometrie til hans hovedværk Essais Philosophiques, publiceret i 1637.

Metoderne, som blev udviklet til at håndtere spørgsmål i geometri af Euklid, Apollonius og deres efterfølgere frem til udviklingen af analytisk geometri, er nu kendt under navnet syntetisk geometri.

Den analytiske geometris metoder er af fundamental betydning, og de indgår derfor i dag i pensum for de gymnasiale uddannelser verden over. Descartes viste selv styrken af den analytiske geometri ved at angive metoder til bestemmelse af normaler og tangenter til kurver.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik