Matematikkens græske arv
MATEMATIKKENS HISTORIE 2: Grækerne er det første folk, der forsøgte at ræsonnere sig til forklaringer på fænomener i omverdenen - og deres dominans på det matematiske felt var enorm.

Sten fra græsk tempelruin på Sicilien. De gamle græske matematikeres mange banebrydende bidrag til matematikken udtømte mulighederne for elementær matematik til en sådan grad, at der helt frem til det 16. århundrede kun blev gjort få matematiske fremskridt af betydning ud over det, der kaldes græsk matematik. (Foto: Carsten Broder Hansen)

Sten fra græsk tempelruin på Sicilien. De gamle græske matematikeres mange banebrydende bidrag til matematikken udtømte mulighederne for elementær matematik til en sådan grad, at der helt frem til det 16. århundrede kun blev gjort få matematiske fremskridt af betydning ud over det, der kaldes græsk matematik. (Foto: Carsten Broder Hansen)

Omkring 600 f.Kr. begyndte grækerne for alvor at betragte matematik som en logisk struktur og som et redskab til at forstå kosmos, men det er vanskeligt at sige hvorfor.

Alt hvad man med sikkerhed ved er, at fra omkring dette tidspunkt var grækerne overbevist om, at universet i alt væsentligt er rationelt organiseret, og at alle naturfænomener følger en præcis og stabil plan; rent faktisk en matematisk plan. Grækerne blev derved det første folk, der forsøgte at ræsonnere sig til forklaringer på fænomener i omverdenen.

Geometri

De matematiske argumenter hos grækerne var stort set geometriske argumenter, og mens grækerne undersøgte tingene, udviklede de samtidigt hjælpemidler fra geometrien. Derved kunne andre nemt eftergøre teknikken, og nye matematikere kunne hurtigere nå frem til fronten af udviklingen og gøre nye fremskridt i forståelsen af universet. På denne måde bidrog grækerne til at grundlægge den metodologi, vi genfinder i moderne videnskab.

Geometri som ren matematik omfatter en samling af abstrakte udsagn om ideelle former og beviser for disse udsagn. Thales (omkring 600 f.Kr.) er den første græker i processen hen imod opbygning af et hierarkisk system for geometri baseret på nogle indledende aksiomer og på deduktion og argumentation. Ifølge legenden beviste Thales adskillige sætninger i geometri, deriblandt sætninger om cirkler og kongruens af trekanter, der blev anvendt til navigation ved sejlads. Medlemmerne af en berømt skole grundlagt af Pythagoras omkring 500 f.Kr. mente, at 'alt er tal'.

Medlemmerne af skolen prøvede at kvantificere alting, idet de specielt var opmærksomme på figurtal (f.eks. trekantstal) og hele tal (f.eks. primtal). I geometri er pythagoræerne kendt for deres opdagelse af den såkaldte Pythagoras' sætning, der siger, at kvadratet på hypotenusen i en retvinklet trekant er summen af kateternes kvadrater. De lærde diskuterer dog fortsat, om ikke allerede babylonierne kendte sætningen. Fra den tidlige periode bør man dog i særlig grad fremhæve Eudoxus (ca. 391-338 f.Kr.), som er kendt for en teori om proportioner og for den såkaldte exhaustionsmetode, der gjorde det muligt på stringent måde at bestemme arealer og volumener. Fra omkring 500 til 300 f.Kr. var Athen det vigtigste intellektuelle centrum i Grækenland, og byen fostrede store tænkere som Platon (ca. 427-347 f.Kr.) og Aristoteles (384-322 f.Kr.). Hverken Platon eller Aristoteles huskes primært som matematikere, men de beredte i høj grad vejen for grækernes senere banebrydende matematiske bidrag. Omkring 387 f.Kr. grundlagde Platon således en skole i et område af Athen kaldet Akademiet, og hans skole (akademi) blev hurtigt centrum for grundlæggende matematiske studier og filosofisk forskning. Over indgangen til Platons akademi stod indskriften: »Lad ingen uden kendskab til geometri få adgang her«.

Fakta

Dette er anden kapitel i serien Matematikkens historie. Teksten kommer fra bogen Matematiske Horisonter udgivet af DTU.

Platon mente, at studiet af matematik og filosofi gav den bedste uddannelse for dem, der skulle beklæde ansvarsfulde stillinger i staten. I dialogen Staten diskuterede Platon, hvad pythagoræerne omtalte som de matematiske kunstarter, nemlig fagene aritmetik, geometri i planen og rummet, astronomi og musik. Platon forklarede disse fags natur og retfærdiggjorde deres betydning for uddannelsen af statsmænd.

I dialogen Timæus inkluderer Platon en diskussion af de fem regulære polyedre i rummet: Tetraederet, heksaederet, oktaederet, dodekaederet og ikosaederet. Aristoteles var fascineret af spørgsmål om logiske forhold og systematiserede studiet af logik og deduktiv argumentation. Specielt diskuterede han syllogismer i logikken, og han omtalte et bevis for, at kvadratrod 2 ikke kan skrives på rationel form som en kvotient mellem hele tal.

Omkring 300 f.Kr., da Ptolemaios I fik magten som konge af Egypten, flyttede den matematiske aktivitet til den egyptiske del af det græske imperium. I metropolen Alexandria grundlagde Ptolemaios et universitet, som blev det intellektuelle centrum for græsk videnskabeligt arbejde i mere end 800 år.

Den klassiske græske geometri er først og fremmest overleveret til eftertiden - dog ikke i primært kildemateriale - i de berømte 13 bøger skrevet af Euklid i Alexandria omkring 300 f.Kr. og kendt som Euklids Elementer. I disse bøger opsummeres og systematiseres den grundlæggende matematiske og især den geometriske viden, som grækerne besad på Euklids tid. Denne fremstilling har præget al senere fremstilling af matematik. Eudoxus bliver ofte krediteret for at have udviklet teorierne, der ligger bag Bog V (om proportioner) og Bog XII (exhaustionsmetoden). Det geometriske indhold i Elementerne kendes nu som euklidisk geometri.

Euklids fem postulater

Euklid baserede sine studier af geometri på fem indledende postulater (udsagn han umiddelbart antog for sande) og brugte regler for deduktion til at udlede ethvert nyt resultat på logisk og systematisk vis herfra. De første tre postulater fastlægger de tilladelige regler for konstruktion med passer og lineal. Sådanne konstruktioner var af stor betydning for grækerne, da det for dem gav beviser for, at de geometriske objekter eksisterede i den virkelige verden. Det fjerde postulat introducerer begrebet en ret vinkel og postulerer begrebets entydighed.

Platons Akademi. Mosaik fra Pompei.

Mens de første fire postulater umiddelbart blev accepteret, gav det femte postulat fra starten anledning til uro, og det blev hurtigt det mest berømte. Det er formuleret som et postulat om rette linjer, der skærer hinanden, idet det skal bemærkes, at en ret linje hos Euklid er et liniestykke af endelig længde - grækerne undgik begrebet 'det uendelige', som de ikke fattede.

I de følgende århundreder frem til begyndelsen af det nittende århundrede blev mange forgæves forsøg gjort for at bevise, at Euklids femte postulat fulgte fra de fire andre postulater. Under dette arbejde blev Euklids femte postulat omformuleret på mange ækvivalente måder og fik i 1795 endelig den udformning, der kendes som parallelpostulatet, formuleret af Playfair.

Exhaustionsmetoden

Exhaustionsmetoden, udviklet af Eudoxus, blev brugt til at tilnærme en geometrisk figur, for hvilken arealet (volumenet) skulle bestemmes med en geometrisk figur, for hvilken arealet (volumenet) allerede var kendt. Når tilnærmelsen bliver gjort bedre og bedre, fremkommer det søgte areal (volumen) som en grænseværdi. Det skal dog bemærkes, at grækerne ikke accepterede uendelige processer, og at de derfor havde vanskeligheder med at formalisere grænseværdibegrebet.

Eudoxus' arbejde blev forfinet i skrifter af Archimedes (ca. 287-212 f.Kr.), der blev født i den græske koloni Syrakus på Sicilien og senere arbejdede her efter at have modtaget sin uddannelse i Alexandria. Archimedes er en af de største matematikere til alle tider. Han perfektionerede exhaustionsmetoden og opnåede eminente resultater såsom hans bestemmelse af overfladen på en kugle. Han opstillede også en liste over de tretten halvregulære polyedre i rummet; polyedre, hvor sidefladerne er regulære polygoner, men ikke alle er af den samme form. Ved at tilnærme en cirkel med regulære polygoner med 96 kanter beviste Archimedes, at tallet π ligger mellem 3 10/71 og 3 10/70 (som er den velkendte tilnærmelse 22/7).

Apollonius (ca. 262-190 f.Kr.) er en anden hovedfigur i græsk matematik. Han blev født i Perga i den nordvestlige del af Lilleasien, men kom til Alexandria i sin ungdom og lærte matematik hos Euklids efterfølgere. Apollonius er først og fremmest kendt for sin systematiske behandling af keglesnittene: ellipsen, parablen og hyperblen.

Talteori

Euklid af Alexandria.

Skønt de gamle grækere beundrede geometri og gjorde deres største opdagelser inden for dette felt, så bidrog de også til andre matematiske områder, i særdeleshed til talteori. Berømt er ikke mindst beviset i Euklids Elementer for, at der er uendeligt mange primtal, ført ved brug af reductio ad absurdum (bevis ved modstrid), som er en yndet type af bevisførelse hos Euklid. Et andet velkendt resultat i Elementerne er divisionsalgoritmen til at finde den største fælles divisor for to hele tal.

Diofant fra Alexandria opnåede andre bemærkelsesværdige resultater i talteorien. Årstallene for Diofant er usikre, men det er generelt accepteret, at han levede omkring 250 e.Kr. I hans hovedværk Aritmetica er Diofant først og fremmest optaget af at finde heltalsløsninger til algebraiske ligninger med heltallige koefficienter, såkaldte diofantiske ligninger.

De banebrydende bidrag til matematikken fra de græske matematikere udtømte mulighederne for elementær matematik til en sådan grad, at der helt frem til det sekstende århundrede kun blev gjort få fremskridt af betydning i matematikken, ud over det der kaldes græsk matematik. Det mest forbløffende er nok, at græske immigranter i Alexandria og på Sicilien lavede deres banebrydende arbejder i det forholdsvis korte tidsinterval fra omkring 350 f.Kr. til 200 e.Kr.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik

Nyhed: Lyt til artikler

Du kan nu lytte til udvalgte artikler herunder. Du kan også lytte til de oplæste artikler i din podcast-app, hvor du finder dem under navnet 'Videnskab.dk - Lyt til artikler'.

Ugens videnskabsbillede

Se flere forskningsfotos på vores Instagram-profil, og læs om de nedenstående prisvindende billeder af stjernetåger og stjernefabrikker her.

Ny video fra Tjek

Tjek er en YouTube-kanal om videnskab henvendt til unge.

Indholdet på kanalen bliver produceret af Videnskab.dk's videojournalister med samme journalistiske arbejdsgange, som bliver anvendt på Videnskab.dk.

Hej! Vi vil gerne fortælle dig lidt om os selv

Nu hvor du er nået helt herned på vores hjemmeside, er det vist på tide, at vi introducerer os.

Vi hedder Videnskab.dk, kom til verden i 2008 og er siden vokset til at blive Danmarks største videnskabsmedie med omkring en million brugere om måneden.

Vores uafhængige redaktion leverer dagligt gratis forskningsnyheder og andet prisvindende indhold, der med solidt afsæt i videnskabens verden forsøger at give dig aha-oplevelser og væbne dig mod misinformation.

Vores journalister fortæller historier om både kultur, astronomi, sundhed, klima, filosofi og al anden god videnskab indimellem - i form af artikler, podcasts, YouTube-videoer og indhold på sociale medier.

Vi stiller meget høje krav til, hvordan vi finder og laver vores historier. Vi har lavet et manifest med gode råd til at finde troværdig information, og vi modtog i 2021 en fornem pris for vores guide til god, kritisk videnskabsjournalistik.

Vores redaktion gør en dyd ud af at få uafhængige forskere til at bedømme betydningen af nye studier, og alle interviewede forskere citat- og faktatjekker vores artikler før publicering.

Hvis du går rundt og undrer dig over stort eller småt, vil vi elske at høre fra dig og forsøge at give dig svar med forskernes hjælp. Send bare dit spørgsmål til vores brevkasse Spørg Videnskaben.

Vi håber, at du vil følge med i forskningens forunderlige opdagelser her på Videnskab.dk.

Få et af vores gratis nyhedsbreve sendt til din indbakke. Du kan også følge os på sociale medier: Facebook, Twitter, Instagram, YouTube eller LinkedIn.

Med venlig hilsen

Videnskab.dk