Margrethe Naalsund, lektor ved læreruddannelsen på Universitetet for miljø- og biovidenskab i Norge, har i sin doktorgrad kortlagt, hvordan norske elever tænker, når de arbejder med algebra.
Algebra er regning med ukendte tal, x-er og y-er, og er gerne blandt de grene af matematikken, vi har sværest ved på skolebænken.
De internationale kortlægningsstudier, PISA og TIMSS, som sammenligner matematiske færdigheder hos elever fra forskellige lande, har vist, at norske elevers algebrafærdigheder ligger under gennemsnittet for OECD-lande, og langt under for eksempel finnerne.
Men hvad er egentlig problemet?
»Der er mange elever, der ser på algebra som en meningsløs manipulation af symboler. De forstår ikke, hvorfor de skal følge de opsatte regler, og så går det hen og bliver rigtigt svært«, siger Naalsund.
Hun mener, opgaveløsning i sig selv ikke er nok, og at der må lægges meget større vægt på diskussion i klasseværelset.
X-regning er ikke som talregning
Først lidt grundlæggende algebra. Mens et almindeligt talregningsproblem kan se sådan ud:
12 + 7 – 15 =
… ser et typisk algebraproblem hellere sådan her ud:
3x + 16 = 24 + x
Man finder samme sum på begge sider af lighedstegnet i algebraproblemet, hvor x'et er en repræsentant for et ukendt tal, som elevene skal regne sig frem til.
I begge disse matematikeksempler er løsningen på opgaven tallet 4, men det kræver forskellige teknikker at komme frem til svaret.
Kan ikke svare på "hvorfor?"
I afhandlingen har Naalsund set på, hvordan elever forstår de metoder, de bruger, når de løser algebraopgaver. Efter at have bedt norske elever i 8. klasse og 10. klasse om at løse forskellige ligninger, interviewede hun dem for at høre mere om, hvordan de havde arbejdet med opgaverne.
»Under interviewet spurgte jeg dem, om de kunne forklare, hvorfor de gjorde, som de gjorde, når de fandt løsningen på opgaven, ”hvad tænkte du, der fik dig til at gøre det sådan?”, men jeg fik meget få begrundelser. De fleste sagde, de bare havde fulgt en regel, de havde lært«, siger Naalsund.
»Jeg har selv arbejdet med elever på videregående uddannelser, og det viste sig, at jeg tog det for givet, at de havde en nødvendig baggrundsviden om grundlæggende algebra, som de slet og ret ikke havde.«
I algebra er 2a ikke 2 appelsiner
Hvis man bare følger regler blindt, er det lettere at komme til at lave fejl.
»Det er typisk, at man overgeneraliserer de regler og operationer, der gælder i talregning. Man kan for eksempel forenkle udtryk i algebra ud fra de regler, som også gælder i talregning, men som ikke gælder her«, siger hun.
For eksempel kan udtrykket ”2a” i talregning opfattes som en forkortelse for ”2 appelsiner”. Men i algebra betyder ”2a” ”2 gange et vist antal appelsiner” – her er det talværdien af a, der kan variere.
Det kan være svært at forstå, når matematik i skolen indtil videre har handlet om faste tal og konkrete mængder frugt.
»Jeg mener, det er vigtig, at man ikke ser på færdigheder og begrebsforståelse som to forskellige ting, men forstår, at de to hænger sammen. Forstår du begreberne, er det lettere at få på plads, hvordan de kan bruges og omvendt«, siger Naalsund.
Forstå, hvordan elever tænker
Kan en del af problemet ligge i, at lærerne selv har nogle af de samme problemer med at forstå algebraprincipper, som elevene har?
»Ja, det er muligt. Det er jo vigtigt, at lærerne selv har en dybere forståelse af fagstoffet for at kunne undervise i det på en god måde«, siger Naalsund.
Men fagkundskaber alene er ikke nok. Naalsund tror, mange af norske elevers problemer med matematik kan løses med en mere holistisk tilgang til matematikforståelse: Hvordan tænker elever, når de skal løse en ligning? Hvad er hovedudfordringerne i det at forstå, at ”x” ikke bare er et tal, men en repræsentant for noget ukendt, som kan have flere værdier?
»En vigtig del af en lærers kompetencer, ud over at have solide fagkundskaber, er også at have kendskab til elevenes tankegang og forskellige indlæringsstrategier«, siger hun.
»Det er noget, jeg synes, vi som arbejder med læreruddannelserne må sørge for at understrege.«
Diskuter mere algebra!
I for eksempel historiefaget lægges der meget vægt på, at elevene ikke bare skal kunne årstal og historiske navne, men at de også skal kunne forklare, hvorfor og hvordan tingene hænger sammen – for eksempel, hvorfor skuddene i Sarajevo var med til at starte 1. verdenskrig.
Det finder man ikke i matematiktimerne:
»Vi har dokumentation på, at norske matematiktimer er domineret af lærerstyret gennemgang på tavlen på den ene side og individuel opgaveløsning på den anden. Meget mindre tid bliver brugt på for eksempel diskussion eller udforskning af matematiske problemer«, siger Naalsund.
»Men det er så vigtigt at arbejde med denne type færdigheder i undervisningen også - at elevene kan diskutere og få mulighed for at forklare, hvorfor og hvordan de har gjort ting med støtte og vejledning fra læreren.«
»Det kan give en dybere forståelse af fagstoffet, end hvis man har et ensidigt fokus på at løse en hel masse ligninger uden egentlig at forstå hvorfor.«
© forskning.no Oversat af: Mette Damsgaard
