Fraktaler – naturens egen geometri

Naturen viser os sjældent den form for orden og regelmæssighed, som man finder i symmetri. Om det er det spinkle omrids af et nøgent træs silhuet om vinteren eller den rå vildskab af bjerge i horisonten, så synes det, vi finder i naturen, oftest at være karakteriseret af uforudsigelighed og uorden.

Men de strukturer har også et skjult mønster. Logikken bag facon og form bliver først blotlagt, når vi prøver at beskrive den matematisk, men vores instinkter siger os allerede, at der er en slags orden, selv uden denne specialiserede viden.

Der er bestemt noget behagende og betagende ved et træs forgrenede form, som vi ikke ville bemærke i et totalt tilfældig arrangement af dele. Det er ikke svært at se, hvor magien ligger.

Formen på træet er indviklet, og vi kan ikke så nemt beskrive det på samme måde, som vi ville beskrive en firkant eller en sekskant. Men vi kan give en meget nøjagtig beskrivelse, hvis vi i stedet fokuserer på processen, der skaber formen. Et træs form kunne siges at være »en stamme, der bliver ved med at forgrene sig.«

Træers former er ligesom algoritmer

Denne beskrivelse er, hvad videnskabsfolk ville kalde en algoritme. En manual til at danne en struktur, eller mere generelt en proces, som skal gennemføres for at få det, man sigter efter.

Grunden til at et træs form ‘føles’ så behagelig, i stedet for ufatteligt kompliceret, er, vil jeg hævde, at vi kan fornemme enkeltheden i den algoritme, der skabte den.

Selv små ændringer i algoritmen vil resultere i en bred vifte af forskellige træ-agtige former. Hvis forgreningsvinklen er lille, og grenene vokser lige, så ender vi med en poppel. Hvis forgreningsvinklen er bred, og grenene fordrejer sig, så bliver resultatet mere som en eg.

Set på denne måde afsløres et objekt, som først lod til at være geometrisk meget komplekst, i at have en underliggende enkelthed. Hvordan kan vi beskrive denne geometri matematisk?

Det kan vi ved at bruge fraktal geometri, som er blevet udråbt til ‘naturens geometri’.

Fraktal geometri forklarer naturen

Nøglen til den fraktale geometri ligger i den algoritmiske tilgang til formen, som den producerer.

Hvad ’træets algoritme’ faktisk siger er: Fortsæt med at danne den samme slags struktur (i dette tilfælde en forgrening) igen og igen ved en mindre og mindre skala.

Med sådan en gentagelse ved forskellige skalaer kan en lille del af et træ ligne træet som helhed. Knæk spidsen af en gren og du har noget, der til forveksling ligner et træ i miniature.

Hvis du forestiller dig at fortsætte forgreningen uendeligt, så ville det ved udelukkende at se på et fragment af formen være umuligt at regne ud, hvor stort fragmentet var: om man så på et helt træ, en meterlang sektion af en gren eller en kvist på en tommes længde.

Denne form for struktur, som gentager sig selv igen og igen ved mindre skalaer, siges at være ‘selv-similære’.

Fraktaler er altid selv-similære. Deres struktur er ‘hierarkisk’, hvilket betyder, at mønsteret skabes over en række af forskellige størrelsesskalaer: træets stamme repræsenterer ét niveau af hierarkiet, de store grene udgør det næste niveau og så videre.

Selv-similære fraktaler findes mange steder

I nogle naturlige fraktaler strækker den selv-similære struktur sig over en bred vifte af skalaer.

En kystlinje kan være rå og ujævn over afstande, der varierer fra omkring en meter (et revnet stykke klippevæg for eksempel) og op til hundreder af kilometer.

Uden noget referencepunkt til at informere os om skalaen – såsom en hytte eller et hus ved kystens kant – vil vi ikke være i stand til at sige, om billedet er af en bugt, som er hundrede meter i bredden eller af et helt lands kystlinje.

Det er det samme med en sky, hvor de tjavsede kanter kan have en fraktal form: hvis du kun ser et lille stykke af kanten, kan du ikke regne ud, hvor stor en del af skyen det repræsenterer.

Naturen kan også skabe fraktaler, som er mere ordnede end en kystlinjes tilfældige takker. Nogle planter deler sig i et højt disciplineret forløb, således at hvert niveau af hierarkiet viser et præcist ekko af det forrige, bare mindre.

Hos bregner skyder hver juletræsformede gren med en række af sekundære skud, der har en størrelse, som gradvist formindskes, og er næsten perfekte kopier af grenen som helhed.

Endnu mere betagende er det fraktale hoved på Romanesco-blomkålen, med dens koniske profil dekoreret med mindre versioner af sig selv over tre til fire hierarkiske niveauer.

Lige så imponerende, på dens egen måde, er drageblodstræet fra Socotra-halvøen i det Indiske Ocean med dets grene, der sirligt deler sig i to halve (se billedgalleriet i toppen af artiklen, red.).

Fraktale forgreninger hos træer har en grænse

Der findes en grænse for den fraktale forgrening på et træ, fordi virkelighedens objekter består af en håndgribelig substans, som ikke kan blive uendeligt fin i detaljen. Om intet andet, så kan rynker og frynser ikke blive mindre, end de atomer de er opbygget af.

Der er også en øvre grænse: du kan ikke få træer så store som bjerge. Så alle naturlige objekter, som har en selv-similær fraktalstruktur, har det altså kun over et bestemt sæt af skalaer.

Men nogle matematiske fraktaler bevarer deres selv-similaritet, uanset hvor meget man forstørrer dem, fordi tal kan blive mindre og mindre til uendelighed.

Mandelbrotmængden – en legendarisk ligning

I 1970erne opdagede matematikeren Benoit Mandelbrot, som gav fraktaler deres navn, en ligning som kan generere en fraktal grænseværdi i et koordinatsystem, og som nu betegnes som Mandelbrotmængden.

Kanten af denne klattede snemands-lignende form er dækket i små klatter, som, når man ser nærmere efter, ligner bittesmå udgaver af den samme basale form, nogle gange med små fine filamenter, der stråler udad.

Uanset hvor meget man forstørrer formen, så kommer den samme spøjse snemand frem.

Det var et chok for matematikere, som var vant til de geometriske formers ædle ro, at opdage, at rene tal kan give noget så detaljerigt, balancerende på grænsen mellem regelmæssighed og kaos.

Fraktaler, der vokser

Naturlige fraktaler, såsom kystlinjer og bjergkæder, opstår i en proces, der involverer gradvis erosion og udgravning af materiale.

Det modsatte fænomen af gradvis ophobning kan også resultere i disse uforudsigelige former.

Se bare de mørke årer, såkaldte mineralske dendritter, der kan ses snørkle sig gennem sten med former så uregelmæssige og tilsyneladende livagtige, at de engang blev forvekslet med fossiler af primitive planter.

Disse snørklende krystaller dannes, når mineralrigt vand siver igennem stenen og aflejrer deres last af opløst materiale som bittesmå korn af udfældede salte. Kornene limer sig sammen i skrøbelige tråde, med spidser der vokser og deler sig hen ad vejen.

Det kaldes aggregationsprocesser: objekter der samler sig og hænger sammen.

Det, der synes overraskende, er, at det ikke bare skaber tætte klumper af materiale, men at klyngerne i stedet er beklædt med fine grene med store tomrum mellem sig.

Fraktale grene er en fordel for organismen

Fraktale grene er så almindelige i biologiens verden, at man må antage, de spiller en nyttig rolle.

Tænk for eksempel på de tvedelte passager i en lunge, eller netværket af arterier, vener og kapillærer i blodsystemet – begge en slags fraktaler med den samme hierarkiske forgrening, som vi kan se på træer.

Det er rimeligt at forstille sig, at disse forgrenede netværk fører en slags adaptiv fordel med sig.

Sådan et netværk eksisterer for at fordele livsvigtige væsker, om det så er luft, blod eller sukkerholdig plantesaft.

Det er ikke svært at se, at de træ-lignende strukturer er en god måde at få væske ud til alle områder af kroppen eller vævet, men det kan ikke være hele svaret.

En stor fordel ved et selv-similært, fraktalt netværk er, at det, siden hver del af systemet afspejler dets helhed, er nemt at forstørre: Det samme princip vil gælde for blodsystemet hos en spidsmus eller en elefant, eller for grenene på et bonsaitræ og en kæmpegran.

Det viser sig også, at disse forgrenede netværk er de mest effektive, når det kommer til energi: mængden af energi, der skal bruges til at flytte væsken ud til alle punkter, er så lille, som det er muligt. Den energibesparing er en stor fordel for organismen.

Få levende systemer udviser så ordnet og systematisk en fraktal forgrening som drageblodstræet fra øen Socotra i Yemen gør. (Foto: Boris Khvostichenko (Boriskhv))

Bogen ‘Naturens mønstre’ tager fat på en række af de mønstre og former, øjet fanger på Jorden. Søpindsvin er en del af afsnittet om symmetri. (Foto fra bogen)

Hvorfor opstår symmetri – og hvorfor brydes det op? Philip Ball ser nærmere på fænomenet, her illustreret ved en krone af sprøjtet vand, hvor kanten brydes op i små dråber. (Foto fra bogen)

Anemoner og koraller viser en bred vifte af overflader og mønstre, hvoraf ingen af dem har en eksakt symmetri i matematisk forstand, skriver Philip Ball. (Foto fra ‘Naturens mønstre’)

Naturen danner sprækker efter et sindrigt system og har derfor også et kapitel i bogen. Mudder på bunden af en udtørret sø, som her i Death Valley i USA, bygger stress op, der leder til sprækker. Mønstrene er en fin balance mellem orden og uorden. Dette er typisk det mest effektive til at aflaste stress i det sammentrækkende materiale. (Foto og tekst fra bogen Naturens mønstre)

Et andet kapitel i bogen ‘Naturens mønstre’ handler om flow og og kaos og om finde den skjulte orden i rodet i naturen. (Foto fra bogen)

Bobler og skum – endnu et kapitel i ‘Naturens mønstre’ – bliver hyppigt anvendt i naturen. Her hænger viol-sneglen (Janthina janthina) fast på undersiden af vandoverfladen via en tømmerflåde lavet af bobler belagt med slim. Herved kan sneglen æde de små dyr, der lever på vandoverfladen. (Foto fra bogen)

1 / 7