Ved du, at et stykke agurk med et stænk straight Bourbon whiskey er en glimrende velkomstsnack? Mine loyale venner vil nikke bifaldende. Men hvordan i alverden kom jeg på den idé? Det var en smal sag. Jeg gik bare ind på www.foodpairing.com. Her fandt jeg 'matchningstræer' for over 1.000 mad- og drikkevarer.

I agurkens 'træ' så jeg, at agurk kunne nydes sammen med mange mad- og drikkevarer, blandt andet regnbueørred, kelptang, boghvede og Bourbon whiskey. Whiskeyen overraskede mig, men jeg prøvede – og OK da. Det hjælper naturligvis, at jeg i forvejen holder af begge dele.

En sag om smag 

Jo tættere en fødevare i netværket er på agurken i centrum, jo bedre passer de sammen i en ret. Afstanden måles i antal fælles smags- og duftstoffer – det vil sige jo flere fælles stoffer, jo kortere afstand. Duftstoffer er vigtigere for en ret end smagsstoffer, fordi lugtesansen er ansvarlig for 80 % af vores smagsopfattelse.

Lad os helt glemme synssansen i denne omgang. Her vil jeg kalde alle stoffer for smagsstoffer. Fødematchningstræer konstrueres ved at sammenligne fødevarers smagsstoffer parvis.

Først identificeres smagsstofferne ved hjælp af analyse med såkaldt gaskromatografi-massespektrometri, som giver et visuelt output i form af et kromatogram. Dernæst sammenlignes fødevarernes kromatogrammer parvist. Agurk og whiskey har en del stoffer til fælles og vil derfor kunne indgå som ingredienser i den samme ret.

Kombinerer man flere fødevaretræer, får man et fødevarenetværk, hvor fødevarer, der deler mange stoffer, er tæt linket til hinanden. Ideen om, at jo flere stoffer to fødevarer deler, jo bedre passer de sammen i en ret, kaldes for fødematchningshypotesen. Men er den virkelig rigtig? Og hvis ja, er den universel, eller er der forskelle mellem køkkener rundt om i verden?

Man kan godt bruge kaviar og hvid chokolade i samme ret

Netværksforskeren Yong Ahn og kolleger publicerede i 2011 artiklen 'Flavor network and the principles of food pairing' i tidsskriftet Nature Scientific Reports, hvor de besvarede de to spørgsmål.

De fandt, at den nordamerikanske og vesteuropæiske gastronomi har retter, hvor ingredienserne har flere fælles smagsstoffer, mens det er omvendt i det østasiatiske køkken. Her sammensættes retter af ingredienser med forskellige smagsstoffer.

En dansk kok ville derfor kunne servere kaviar og hvid chokolade i den samme ret uden at miste kollegernes respekt, fordi begge indeholder flere fælles stoffer, blandt andet trimetylamin.

Yong Ahn og hans forskergruppe lavede et netværk med links mellem to slags knuder – fødevarer og smagsstoffer. Data hentede de fra en koreansk og to nordamerikanske databaser (allrecipes.com, epicurious.com og menupan.com). Tilsammen indeholder de tre databaser 56.500 opskrifter fra hele verden, og alle blev inddraget i analysen.

Hver opskrift blev kategoriseret som vesteuropæisk, nordamerikansk, latinamerikansk, sydeuropæisk eller østasiatisk.

Netværksanalysen kan vise knudepunkterne i mad

Ahn & co. fandt, at matchningshypotesen var nogenlunde rigtig for det vesteuropæiske køkken, men især den nordamerikanske mad understøttede hypotesen. Det modsatte var tilfældet for retterne fra Sydeuropa og Latinamerika og især for retterne fra Østasien. Vesteuropæerne og nordamerikanerne sammensætter retter af fødevarer med fælles smagsstoffer, hvorimod østasiaterne gør det modsatte.

Netværksanalysen viser også, at knudepunkterne i det nordamerikanske køkken er mælk, smør, kakao, vanille, fløde og æg. Alle er fødevarer, der deler smagsstoffer med mange andre fødevarer. Knudepunkterne i asiatisk mad er oksekød, svinekød, kylling, cayenne, ingefær og løg. Knudepunkter er knuder med mange links til andre knuder. Hver fødevare i netværket er i gennemsnit linket til 51 smagsstoffer.

Den ene forfatter til artiklen er kok, og han er nu i gang med at udforske artiklens praktiske betydning. For eksempel viser matchningstræet for kaffe, at kaffe og hvidløg går fint sammen i Vesteuropa, men især i USA ville en coffee & garlic–to go kunne blive et hit!

Forfatterne lavede desuden et to-modalt netværk af 381 fødevarer og deres 1.021 smagsstoffer. Herudfra konstrueres to forskellige ét-modale netværk: Et fødevarenetværk, hvor to fødevarer er linket sammen, hvis de deler mindst ét stof, og et smagsstofnetværk, hvor to stoffer er linket, hvis de findes sammen i mindst én fødevare.

Ét-modale netværk er generelt netværk, hvor alle knuder er af samme slags, mens to-modale netværk har to slags knuder, og hvor der kun optræder links imellem de to typer. I fødevarestudiet beskrives især fødevarenetværket. Det viser, at hver fødevare i gennemsnit er linket til 214 andre fødevarer.

En opskrift indeholder i gennemsnit otte ingredienser

Fødevarenetværket består af forskellige moduler, som repræsenterer klassiske fødevaregrupper såsom kødvarer, frugt, grøntsager, svampe, mælkeprodukter og alkoholiske drikke. Et modul er en gruppe knuder med en høj tæthed af indbyrdes links, men med få links ud til andre moduler. Svampemodulet er helt isoleret, fordi svampe indeholder mange stoffer, som ikke findes i andre ingredienser.

Ved at bruge den store opskriftsdatabase kunne forskerne teste, om fødevarer, der er linket tæt sammen i netværket, også optræder i den samme opskrift. En opskrift indeholder i gennemsnit otte ingredienser, men antallet varierer imellem regioner.

Det sydøstasiatiske køkken er det mest diverse med gennemsnitligt 12-13 ingredienser pr. ret, mens der i Skandinavien bruges sølle 6-7. Hvis man er eksperimenterende kok, ser man her mulighederne for mange nye retter. Hvis vi har 381 ingredienser, og hver ret indeholder otte ingredienser, er det muligt
at konstruere 1016 forskellige retter.

Æg er det globale knudepunkt

I dag kendes ifølge databasen cookpad.com kun én million, så der er stadig mange ukendte Michelin-stjerner at plukke på den gastronomiske himmel, selvom der jo nok er retter på det astronomiske menukort, man ville springe over!

De forskellige ingredienser i netværket varierer meget i deres popularitet – det vil sige med hensyn til, hvor mange retter de indgår i. Æg er ifølge Ahn & Co. det globale knudepunkt og indgår i 21.000 retter – næsten 40 % af alle 56.500 retter. Det er overraskende.

Jasmin-te, Jamaica-rom, durianfrugt, ristet pecannød, kvan, syrenblomst og mate derimod er helt perifere knuder og indgår kun i én ret hver – og det lyder helt rigtigt.

De store elektroniske databaser af opskrifter, ingredienser og smagsstoffer har gjort gastronomien tiltrækkende ikke kun for gourmeter og kokke, men også for netværksforskere – herunder dem, der ikke engang kan spejle et æg.

En verden af netværk

Når Emirates-flyet EK 0152 letter fra Kastrup Lufthavn og sætter kurs mod Dubai, laver det et link imellem de to lufthavne. Fortsætter vi fra Dubai mod for eksempel Singapore, er det endnu et link i det globale lufthavnsnetværk. De fleste lufthavne er kun få 'flyve-ben' fra hinanden, og det er sjældent, at man på en rejse mellem større lufthavne skal skifte mere end to gange.

På verdensplan er gennemsnittet mellem to lufthavne dog 4,4, men så er de mindste lufthavne også talt med. Enkelte små, eksotiske lufthavne er meget langt
fra hinanden. Verdensrekorden er mellem Mount Pleasant på Falklandsøerne og Wasu på Papua New Guinea. Her må man skifte fly 15 gange for at komme fra den ene til den anden.

Alt – næsten alt – i denne verden er opbygget af netværk. Når Hansen har sex med Nielsen, etableres der et link imellem dem, og hvis begge fortsætter med andre forhold, bygges der et seksuelt netværk op.

Fodboldkampe er netværk af afleveringer

World Wide Web er et netværk af hjemmesider; fodboldkampe er netværk af afleveringer; økosystemer er netværk af arter, som interagerer med hinanden; vores stofskifte er et netværk af kemiske stoffer, der indgår i fælles reaktioner; landsbyer er små informationsnetværk; William Shakespeares samlede værker og ugebladsnovellen er netværk af ord; Hollywood er et netværk af filmstjerner, der medvirker i de samme film osv.

Alle disse netværk er naturligvis forskellige, men det dybt fascinerende er, at de alligevel har en lang række fælles egenskaber. Deres opbygning og nedbrydning følger næsten de samme regler.

Figuren viser et eksempel på et to-modalt netværk med links imellem fødevarer og deres smagsstoffer, hvor et link betyder, at en fødevare indeholder et bestemt smagsstof. Ud fra dette netværk laves et ét-modalt fødevarenetværk (th.), hvor alle knuder er fødevarer. Et link her betyder, at to fødevarer deler mindst ét smagsstof. Knudernes størrelse fortæller, hvor anvendt en fødevare er, og linkenes tykkelse eller styrke fortæller, hvor mange smagsstoffer to fødevarer har til fælles. (Illustration: Troels Marstrand)

Netværksanalyse er et værktøj i studiet af komplekse systemer. Kompleksiteten – for eksempel af det globale lufthavnsnetværk – er selve studieobjektet, der ikke er de enkelte knuder i netværket, for eksempel Kastrup Lufthavn.

Vi ignorerer de enkelte smagsstoffer i en fødevare og vælger i stedet for at studere hele fødevarenetværket, og selvom CV’et for for eksempel Danske Banks direktør uden tvivl er meget imponerende, er det måske uden større betydning, når vi analyserer det danske erhvervslivs magtnetværk. En knude er en knude, hvad enten den repræsenterer en agurk, Kastrup Lufthavn eller Danske Banks direktør.

Netværksanalysens popularitet i dag skyldes de største teknologiske revolutioner nogensinde – internettet og World Wide Web. Vi er næsten alle på nettet, fanget i nettet, og ingen aner, hvor vi er på vej hen.

Størrelsen og strukturen af www blev beskrevet for første gang

www er vel det projekt i verden, som flest mennesker ikke blot deltager i, men også er med til at konstruere. Flere milliarder hjemmesider er det blevet til. I 2012 oplyste Google Index, at tallet er cirka 40 milliarder sider, men ingen kender det præcise tal.

I 1999 kunne man i det prestigiøse tidsskrift Nature læse artiklen 'Diameter of the World Wide Web'. Den var skrevet af fysikeren og netværksanalytikeren Albert-László Barabási og et par kolleger. I artiklen blev størrelsen og strukturen af www beskrevet for første gang.

De opdagede, at antallet af links pr. hjemmeside ikke var tilfældigt fordelt, som de havde troet, men derimod fulgte en faldende potensfunktion. Det betød, at de fleste hjemmesider havde ganske få links, men også at nogle ganske få hjemmesider havde rigtigt mange links, flere end 1.000.

Internetsider kan skyde genvej gennem knudepunkter

Fordelingen af links pr. side fulgte en faldende potensfunktion, som er en funktion af udseendet ax^-b, hvor a og b er to positive konstanter. Andelen af hjemmesider på www med for eksempel mindst to links ud til andre sider følger potensfunktionen 100 x 2^-2,5 eller 100/2^2,5, skriver Barabási.

Hvis han har ret, har 100/2^2,5 = 18 % af hjemmesiderne mindst to links, og 100/1000^2,5 = 0,0000032 % af siderne har mindst 1.000 links. Hvis www har 40 milliarder hjemmesider, er der syv milliarder sider med mindst to links (18 %
af 40 milliarder), og hvis vi regner videre,
må der være en enkelt side med 3.-4.000 links – nettets mægtigste side!

Det er derfor muligt at finde nogle ganske få knuder med ekstremt mange forbindelser. For eksempel er CNN et af knudepunkterne på www, ligesom æg er et knudepunkt i fødevarenetværket. Kommunikationen mellem to tilfældige sider på www vil gå hurtigt, fordi den skyder genvej gennem disse knudepunkter.

Seks links adskillelse

Harvard-sociologen Stanley Milgram (1933 - 1984) er kendt for sine mange eksperimenter, og nogle af hans forsøg er blevet verdensberømte. Han fik for eksempel almindelige mennesker til at begå vold mod andre – eller rettere til at tro, at de begik vold mod andre – i videnskabens tjeneste.

Her er vi dog især interesseret i et ganske bestemt eksperiment, som er blevet et af netværksanalysens vigtigste. Milgram diskuterede med sine Harvard-kolleger, hvor langt mennesker var fra hinanden – målt i for eksempel bekendtskaber. Hvis to mennesker kender hinanden, er der ét link imellem dem.

»To tilfældige mennesker i USA vil være mindst 100 bekendtskaber eller links fra hinanden«, sagde Milgrams kolleger. Milgram designede et forsøg, der kunne svare på spørgsmålet. Han bad 160 personer fra Kansas om at sende et brev til en børsmægler i Boston. Kendte personen ikke børsmægleren, skulle denne sende brevet til en, som afsenderen troede, kendte ham.

Forsøgets resultat overraskede alle. Der var i gennemsnit kun seks links imellem afsender og børsmægleren eller 'Six degrees of separation', som netværksteoriens mest berømte frase lyder. Grader er lig links.

Hollywood er en lille verden

Flere af netværksanalysens vigtigste gennembrud i det seneste årti er gjort af amerikanske collegestudenter. I 1994 sidder tre af slagsen på deres værelse og ser en film med blandt andet skuespilleren Kevin Bacon.

Sitet The Oracle of Bacon fortæller, at Helle Virkner og Halle Berry kun er tre links fra hinanden i filmnetværket (hvilket også kaldes sti-længden). Forklaringen er, at Helle Virkner i år 2000 spillede sammen med Nikolaj Lie Kaas i Blinkende lygter, og Nikolaj spillede i 2009 sammen med ingen ringere end Tom Hanks i Engle & dæmoner, og Tom spiller sammen med Halle Berry i filmen Cloud Atlas, som havde premiere i 2012. Andre stier mellem de to vil også have en længde på 3 eller være længere, men netværksanalysen er mest interesseret i den korteste sti, og i filmstjernenetværket er det næsten umuligt at finde en stilængde mellem to stjerner på mere end tre links.

»Han må ha’ travlt, den mand, han er jo med i alt,« siger den ene, »og – ærligt talt – noget lysende talent er han ikke.«

Det er rigtigt. Det særlige ved Kevin Bacon er ikke talentet, men derimod at han har spillet sammen med mange berømtheder.

»Måske er han et centralt knudepunkt i Hollywood-netværket,« siger en af de andre. Linkene imellem skuespillerne er de film, hvor de har spillet sammen.

Hvor langt er der mellem Helle Virkner og Halle Berry?

Næsten alle stjernerne i filmnetværket
er højst tre film fra hinanden. Det kan man se, hvis man besøger sites som The Internet Movie Database (www.imdb.com) og The Oracle of Bacon (www.oracleofbacon.org).

Tag et eksempel: Hvor langt er der for eksempel mellem de to dejlige kvinder Helle Virkner og Halle Berry? Går man ind på oracleofbacon.org 
og skriver 'Helle Virkner' i det første felt og 'Halle Berry' i det andet felt og trykker på Find link, så får vi meget overraskende at vide, at der kun er tre links imellem dem.

En ting er dog at vide, at afstanden mellem to personer i et socialt netværk er kort. Noget andet er at finde vejen. Det var et stort problem for Milgrams forsøgspersoner, og selv www’s søgemaskiner har problemer.

Takket være netværksanalysen ved jeg, at afstanden mellem undertegnede og Penélope Cruz er dejligt kort, men hvordan finder jeg vej? Mine egne venner kender jeg – og også enkelte af mine venners venner. Men mine venners venners venner aner jeg ikke, hvem er.

Afstanden mellem to hjemmesider

Barabási og co. var de første, der undersøgte afstanden mellem to tilfældige hjemmesider. De lavede et program, som kunne finde den korteste afstand eller sti mellem to tilfældige sider. En sti er en rute ad eksisterende links imellem to knuder, og der er ofte flere mulige veje mellem to knuder. Stilængden mellem to knuder er den korteste sti målt i antal links.

www’s størrelse måles i antal sider. Barabási fandt, at stilængden = 0,35 + 2,06 x logaritmen til netværkets størrelse. Det er en interessant ligning! Den gør os nemlig i stand til at beregne, hvad der vil ske med stilængden, når nettet fortsætter med at vokse.

For ganske få år siden havde nettet én milliard hjemmesider og dermed en stilængde på 0,35 + 2,06 x logaritmen til én milliard = 0,35 + 2,06 x 9 = cirka 19 klik med musen. Har vi derimod 10 milliarder sider, altså 10 gange så mange sider, bliver stilængden = 0,35 + 2,06 x 10 = cirka 21.

Det betyder, at når antallet af hjemmesider tidobles, så stiger afstanden mellem to tilfældige sider kun med to klik – afstanden stiger altså langsomt, mens antallet af sider eksploderer. Med dagens – måske 40 milliarder www-sider – vil den gennemsnitlige afstand mellem to sider være 22 klik.

Svenskernes sexliv

»Er du utro, så har du sex med hele verden«, skrev den svenske avis Sydsvenskan i 2003 og fortsatte morsomt: Sex degrees of separation. Avisen refererede til en Nature-artikel skrevet af sociologen Fredrik Liljeros og hans forskningsgruppe.

Forskerholdet havde interviewet flere tusinde svenskere af begge køn og af vidt forskellig alder om deres sexvaner. Et par af spørgsmålene gik på, hvor mange seksuelle partnere den interviewede havde haft igennem hele sit liv og i løbet af det seneste år. Langt de fleste havde kun haft få partnere, men nogle få havde haft mange.

Fordelingen var skæv. Den fulgte en faldende potensfunktion, om man så må sige. Fordelingen blev opdaget af en af Liljeros' ph.d.studerende i gennemsnit har en svensk mand 15 partnere i sit liv, mens en svensk kvinde kun har syv. Forskellen skyldes tilsyneladende kun kønsforskelle i lysten til at overdrive og underdrive.

A og B viser hhv. det antal links, der forlader en hjemmeside, og det antal links, der peger hen til en hjemmeside, X-aksen angiver antallet af links pr. hjemmeside, og y-aksen angiver andelen af nettets hjemmesider, der har mindst K links. C viser sammenhængen mellem et nets størrelse (i dette tilfælde hele internettet) og det antal links, som i gennemsnit kræves for at nå fra én side til en tilfældig anden side. (Grafer: efter Albert et al. 1999. Nature 401:130)

En enkelt mand havde dog været særligt aktiv – lad os her kalde ham Jansson – fordi han havde haft rigtigt mange fristelser. Over 1.000 partnere var det løbet op i, hvis vi tager alt det løse med. Jansson var derfor et knudepunkt i det svenske seksualnetværk. 

Sundhedsmyndighederne bør derfor i deres kamp mod kønssygdomme især 'angribe' netværkets knudepunkter, Jansson'erne, konkluderede Liljeros, og i mindre grad satse på store folkeoplysningskampagner. De sidste læses jo kun af de mange personer med
få links i seksulanetværket, det vil sige netværkets perifere knuder, som ikke betyder noget for smittespredningen.

En hurtig spredning af information er vigtig, men kan være farlig

Jansson er med sine godt 1.000 seksualpartnere med i toppen, ingen tvivl om det, men verdensmester i sin særlige disciplin
er han nu ikke. Fransk-canadieren Gaetan Dugas er et bedre bud. Han omtales i bogen 'And the band played on' skrevet i 1987 af Randy Shiffts.

Dugas har fået den uhyggelige ære at blive kaldt patient nr. nul i aidsepidemien. Mindst 40 af de første 250 personer fra især Californien og New York, der tilbage i 1982 fik diagnosen aids, havde haft sex med Dugas eller med en, som havde haft sex med ham.

Han var selv en af de første, som fik diagnosen, selvom han hårdnakket påstod, at han 'kun' havde hudkræft og ikke Kaposis sarkom (en hudkræft, der ofte er forbundet med hiv), som det i virkeligheden drejede sig om. Det skønnes, at Dugas i sit omtumlede liv nåede at have sex med over 2.500 personer. Han er derfor et grufuldt eksempel på knudepunkters magt i netværk.

I netværk taler vi om strukturens betydning for spredning af information – og information skal her forstås meget bredt. Det kan dreje sig om vaner, holdninger, trafik, nyheder, bakterier, kemiske stoffer, energi osv.

En hurtig spredning af information er naturligvis vigtig, når vi taler om internettet og spredningen af positive vaner, men yderst farlig, når vi taler om sygdomme som hiv og fugleinfluenza, terror og ondsindet sladder.

Kliker gør verden lille

Skolelærere bekæmper kliker, mens rockere, logebrødre og slyngveninder dyrker dem. Dit netværk bliver mere kliket, jo flere af dine venner der er venner. I naturen taler vi om moduler og ikke kliker. Arter tilhører samme modul, hvis de fleste æder hinanden eller snylter på hinanden.

Kliketheden af en knude er lig med tætheden af links imellem knudens naboknuder. Hvis du har 10 venner, eksisterer der 10 x (10 – 1)/2 = 45 mulige topersoners venskaber. Hvis 30 venskaber eksisterer i virkeligheden, har du en klikethed å 30/45 = 0,67. Små verdener har en kort gennemsnitlig stilængde og en høj klikethed imellem knuderne.

En knudes klikethed er en lokal egenskab, det vil sige den vedrører kun den enkelte knude
og dennes nærmeste omgangskreds, og kliketheden er derfor uafhængig af netværkets størrelse. Stilængden mellem knuderne vokser derimod – omend langsomt – med stigende netværksstørrelse, som i WWW.

Små verdener er sårbare over for angreb på knudepunkterne

En lille verden er et netværk med en høj klikethed og en kort stilængde. Begge egenskaber betyder, at alle knuder er tætte på hinanden. Spredning af information sker derfor særligt hurtigt i små verdener. I naturen danner arterne nogle af de mindste verdener, vi kender, fordi mange arter er i direkte kontakt med hinanden.

Hvis de få, meget linkede knuder – knudepunkterne – i små verdener ødelægges, så bryder hele netværket sammen, fordi de fleste stier mellem knuderne går gennem knudepunkerne. Små verdener er derfor meget sårbare over for angreb på knudepunkterne.

Små verdener er derimod meget robuste over for fejl i perifere knuder med få links. Vil man nedbryde et netværk, skal man gå efter knudepunkterne, – Jansson’erne – men vil man bevare et netværk, må man beskytte knudepunkterne.

Netværk i naturen

Planter, dyr, svampe, bakterier og vira danner komplicerede økologiske netværk. Mennesket er også en del af de økologiske netværk. Vi spiller forskellige roller i naturen – det samme gør alle andre arter. Et link kan symbolisere planteæderi, prædation og parasitisme, men også symbolisere en gensidigt gavnlig interaktion som den, der eksisterer mellem en blomst og en bestøvende bi.

Antal afleveringer per hold i en kamp ved VM i fodbold i 2010. (Omtegnet efter figur af J.P. Lopez &H. Touchette)

Hvis en art har mange links til andre arter, er den en generalist. Har den derimod få, er den en specialist. En planteæder kan være generalist mht. hvor mange planter, den æder, men specialist mht. hvor mange rovdyr, der kan æde den. En elefant for eksempel angribes måske kun af løver, men æder selv hundredvis af forskellige planter.

Spørgsmålet om, hvordan naturen forbliver stabil over for forstyrrelser, studeres intenst, fordi biologiske netværk jo netop har været 'testet' i naturen i millioner af år. De er et resultat af en evolution. De netværk, der har 'overlevet', må derfor have den mest 'fitte' struktur, det vil sige at de er særligt robuste.

Spørgsmålet er derfor, om vi ved at studere naturens netværk kan lære at lave særligt stabile teknologiske netværk? Det arbejder videnskaberne biomimetik og adaptivt netværksdesign med.

Centrale knuder

En knudes centralitet i et netværk kan måles på forskellig vis. Det simpleste mål er gradtallet, som fortæller, hvor mange links en knude har til andre knuder – uden at vægte de enkelte links betydning. Det centralitetsmål dur ikke i for eksempel et fodboldspillernetværk, fordi alle spillerne formodentligt når at aflevere til hinanden mindst én gang i løbet af en kamp, det vil sige at alle får et gradtal på ti (der er 11 spillere på et fodboldhold).

Hvis linkene desuden har en retning som i WWW, kan man tale om et indgående
og et udgående gradtal. Mange, måske alle hjemmesider har ikke det samme indgående og udgående gradtal; Det samme gælder det antal gange, en fodboldspiller afleverer og modtager bolden i en kamp.

Et andet mål er tæthed, det vil sige hvor tæt
en knude er på netværkets centrum, det vil sige
på alle de andre knuder i netværket. Det er indlysende, at en medarbejder med en høj tæthedsværdi har særlig betydning i en virksomhed.

Et tredje mål for en knudes betydning
for et netværk er betweenness-værdien, det vil sige hvor mange stier mellem knuderne i et netværk der går igennem en bestemt knude. En fodboldspiller med en høj betweenness bliver derfor en slags spilfordeler.

Bolden i nettet

Vuvuzelaer brøler. Det er den 11. juli 2010, dagen for VM-finalen i fodbold mellem Spanien og Holland. Knap 90.000 tilskuere er stuvet sammen på Soccer City Stadion i Johannesburg. Nelson Mandela åbner, og dernæst må alle vente meget længe på resultatet, og så sker det – endelig – fire minutter før udløbet af den forlængede spilletid.

Spanske Fàbregas trækker fem hollandske forsvarere med sig og sender bolden til Iniesta, som – bang – sender den forbi målmand Stekelenburg. Spanien er verdensmester.

Journalisterne, de 90.000 tilskuere og den milliard mennesker, der så kampen på TV, har naturligvis alle deres forklaring på resultatet. Men lad os gå bag al bagklogskaben: Hvorfor vandt Spanien egentlig? Hvor meget er tilfældigt i fodbold, og hvor meget kan forudsiges?

Vi kan begynde med de tørre tal: Spanien havde bolden i 56 % af tiden og skød på mål seks gange – rigtigt, kampen var småkedelig. Hollænderne havde fem skud på mål, og de fik ét rødt kort (Spanien ingen). Hollænderne fik otte gule kort (Spanien fem) og begik 28 frispark (Spanien 19).

Tallene siger det samme som resultatet – Spanien dominerede svagt. Men det interessante er, hvorfor Spanien havde den svage dominans?

Hvad var årsagen?

Her kan en netværksanalyse hjælpe os. To matematikere og sande fodboldaficionados, Javier Lopez Pena fra University College og Hugo Touchette fra Queen Mary University i London, spurgte: Hvilke spillere har størst betydning for resultatet?

Spørgsmålet er – i modsætning til for eksempel håndbold – svært at svare på, fordi der scores relativt få mål i fodbold. En fodboldspiller skal derfor vurderes på en anden måde end blot på antal scoringer. Præstationen ligger skjult i hans spil.

Figuren viser antallet af afleveringer og antallet at points, som engelske fodboldhold har opnået igennem en hel sæson eller turnering (hvert punkt er et hold). Antal afleveringer pr. kamp forklarer 80 % af variationen i points i engelsk fodbold. (Omtegnet efter figur af J.P. Lopez &H. Touchette)

De to forskere studerede alle kampene ved verdensmesterskabet i 2010 – et kæmpe dataindsamlingsarbejde. For hvert hold lavede de et spillernetværk over alle afleveringerne for hele turneringen. Det totale antal afleveringer i en kamp viste sig at variere meget. De enkelte spillere varierede også meget i antal afleveringer. Forskerne forklarer:

»Hver spiller får en værdi, der fortæller, hvor central han er i netværket. Jo højere centralitetsværdi, jo vigtigere er spilleren, det vil sige jo mere er han forbundet til resten af holdet gennem sine afleveringer.«

Det spanske spil ved VM var bygget på mange hurtige afleveringer

For finalekampen viste de to forskeres analyse, at de spanske spillere lavede dobbelt så mange afleveringer som hollænderne – 462 mod 229. Det er kendt, at der er en positiv sammenhæng mellem antal afleveringer og succes. Det er blandt andet vist i engelsk fodbold.

Det spanske spil ved verdensmesterskaberne var bygget op over mange hurtige afleveringer, som var jævnt fordelt imellem spillerne, især mellem spillerne på midtbanen. Det er den såkaldte tiki-taka-spillestil.

Syv af de spanske spillere har næsten samme centralitet. Nogle få spillere kan mandsopdækkes, men ikke syv. Hollændernes spil var defensivt med langt færre afleveringer, som især gik til de spillere, der skulle afslutte.

Hollænderne satsede med andre ord på kontraspil med lange bolde og hurtige angreb. Deres mål blev ofte lavet efter frispark, og de brugte i høj grad deres fysiske styrke til at presse modstanderne. Holland havde kun fire spillere med en høj centralitet, og dermed blev holdet mere sårbart over for tæt opdækning.

Den hollandske spiller de Zeeuw havde en centralitet på nul og deltog derfor reelt ikke i kampen.

Netværksanalyse af hold vil kunne bruges til at bygge en træningsstrategi op

Netværksanalyse påstår altid, at et netværk er mere end summen af de enkelte elementers egenskaber. De, der forsker i fodboldnetværk, mener, at deres analyse af spillernetværket forklarer, hvorfor et hold taber, og et andet vinder.

De siger, at et godt hold har en mere integreret spillerstruktur, det vil sige mere koordinering, kognition (hver spiller ved, hvad alle de andre gør) og fleksibilitet (spillernes position er dynamisk; egoernes betydning mindsket). Spillet har flere veje, det vil sige ingen spiller må have en betweennessværdi, som er meget højere end de andres.

En spiller med en høj betweenness linker mange spillere sammen, og han er derfor vigtig for holdets samlede spil. Men bliver han skadet eller udvist, kan spillet bryde sammen.

Netværksanalyse af hold med succes vil derfor kunne bruges til at bygge en træningsstrategi op.

Fremtidens supernetværk

Studier af forskellige netværk viser betydningen af bestemte egenskaber – i fodboldnetværket er knudernes betweennessværdi vigtig, mens den modulære struktur er helt fundamental i ingrediensnetværket. Ved at sammenligne netværk får vi derfor en bred forståelse for netværks struktur, dynamik
og stabilitet over for forstyrrelse.

Sådanne sammenligninger laves i dag af netværksforskere, som ikke bekymrer sig om, hvad de forskellige knuder er. For dem er en knude en knude og et link et link, men en formidling
af deres viden til de mange fagområder, der laver netværksanalyse, bliver vigtig.

Endelig vil netværksforskere kunne informere om nye begreber og analyseværktøj udviklet inden for ét fagområde, men af potentiel værdi for mange andre. I næste netværksgeneration vil vi begynde at linke forskellige netværk sammen til supernetværk – elnetværk med internet, flytransportnetværk med epideminetværk – og måske vil vi en dag arbejde med alle klodens enkeltdele samlet i ét gigantisk netværk.