Matematik i det tyvende århundrede

I det tyvende århundrede skete en enorm udvikling i matematikken. Der blev udført mere original matematisk forskning og helt sikkert publiceret langt mere matematik end i alle de forudgående århundreder tilsammen.

Ikke mindst mængdelæren undergik store forandringer og oplevede nye gennembrud, og mange af den moderne matematiks teorier afhænger af begreber herfra.

Problemer i grundlaget for mængdelæren

Med Cantors teori for kardinalitet (størrelse) af mængder, udviklet kort før 1900, fik matematikere endelig hold på og accepterede begrebet uendelig, som indtil da havde været en forhindring og en gåde i matematikken. Imidlertid ventede nye problemer forude.

I begyndelsen af det tyvende århundrede blev der givet et grundlag for mængdelæren i et aksiomssystem formuleret af den tyske matematiker Ernest Zermelo i 1908 og forbedret af hans landsmand Abraham A. Fraenkel omkring 1920. Systemet er kendt som Zermelo-Fraenkel systemet og er i dag den generelt accepterede basis for mængdelæren.

Et antal paradokser, i særdeleshed det berømte Russells paradoks, gav imidlertid alvorlige problemer i mængdelærens grundlag. En version af Russells paradoks fra 1902 stiller spørgsmålet: I en landsby bliver alle dem, der ikke barberer sig selv, barberet af barberen; hvem barberer så barberen?

Bertrand Russell (1872-1970) var en enestående personlighed i det tyvende århundrede, og sammen med A.N. Whitehead fuldførte han i 1913 det banebrydende arbejde Principia mathematica om det logiske grundlag for matematikken. Andre typer af problemer i mængdelæren opstod, da det blev klart, at det såkaldte udvalgsaksiom implicit kommer ind i mange matematiske konstruktioner og resultater.

Det var derfor et hårdt anslag imod drømmen om at opbygge et komplet logisk aksiomssystem dækkende hele matematikken, da den østrigske matematiker Kurt Gödel i 1931 og den amerikanske matematiker Paul Cohen i 1963 påviste, at udvalgsaksiomet såvel som kontinuumshypotesen hverken kan bevises eller modbevises - Zermelo-Fraenkel systemet for mængdelæren er med andre ord ufuldstændigt.

Højdepunkter fra det tyvende århundredes matematik

I algebra er de to mest spektakulære resultater opnået i det tyvende århundrede uden tvivl dels klassifikationen af de endelige, simple grupper fuldført omkring 1980, med afgørende bidrag af adskillige fremtrædende algebraikere, dels beviset for Fermats sidste sætning kort før årtusindskiftet, først og fremmest forbundet med den engelske matematiker Andrew Wiles.

Hovedparten af forskningen i geometri og topologi i det tyvende århundrede har drejet sig om at opnå indsigt i mangfoldighedsbegrebet. De algebraiske metoder udviklede sig til algebraiske teorier af selvstændig interesse, som fra omkring 1930 blev omtalt som algebraisk topologi. Nogle af de fundamentale metoder udviklet i den algebraiske topologi har yderligere inspireret til nye algebraiske teorier såsom homologisk algebra og kategoriteori.

Studiet af geometriske former beskrevet ved generelle algebraiske ligninger modnedes også til et meget aktivt forskningsområde kendt under navnet algebraisk geometri. For sit skelsættende arbejde i algebra, talteori og topologi modtog den franske matematiker Jean-Pierre Serre i 2003 Abel-prisen - den første af disse særdeles prestigefyldte priser i de matematiske videnskaber.

I 1956 viste den amerikanske matematiker John Milnor, at differentiable strukturer på kugleflader af højere dimension langt fra er entydige, og initierede derved den nye gren differentialtopologi af topologien. I begyndelsen af 1960'erne gav den amerikanske matematiker Steven Smale fundamentale bidrag til klassifikationen af mangfoldigheder af dimension større end 5 og beviste bl.a. den generaliserede Poincarés formodning, som karakteriserer kuglefladen i disse dimensioner ved algebraiske invarianter.

Fra omkring 1980 har der været en ny periode af stærk vekselvirkning imellem teoretisk fysik og matematik med Michael Atiyah og Simon Donaldson i England som nogle af hovedpersonerne i matematik og amerikaneren Edward Witten som den førende fysiker. I matematik har denne vekselvirkning været instrumentel for klassifikationen af mangfoldigheder i dimension 4, hvoraf vi kun skal nævne den amerikanske matematiker Michael Freedmans bevis for Poincarés formodning i dimension 4 i 1983.

I slutningen af 2002 annoncerede den russiske matematiker Grigori Perelman, at han havde bevist den oprindelige Poincarés formodning i dimension 3, og efter den internationale kongres for matematikere i Madrid i 2006 har matematikersamfundet anerkendt beviset som korrekt.

En anden hovedudvikling i matematikken i det tyvende århundrede knytter sig til en stigende interesse for studiet af rum af funktioner og deres egenskaber, som udkrystalliserede sig i den nye gren af den matematiske analyse kaldet funktionalanalyse. Blandt pionererne finder man den ungarske matematiker John von Neumann (1903-57) og den polske matematiker Stefan Banach (1892-1945).

Andre bemærkelsesværdige nye udviklinger i den matematiske analyse omhandler frembringelsen af abstrakte teorier for mål og integration, der kraftigt udvidede rækkevidden for anvendelser af metoder fra funktionalanalyse i teorien for differentialligninger og i teoretisk fysik. Teorien for distributioner blev inspireret af arbejde af fysikeren Paul Dirac (1902-84), der på intuitivt grundlag indførte den såkaldte deltafunktion i et berømt arbejde fra omkring 1928, hvori han fuldender den klassiske kvanteteori ved at udlede en ligning for elektronen, som er konsistent med Einsteins relativitetsteori, i modsætning til ligninger af Schrödinger og Heisenberg.

Det tyvende århundrede var ikke alene vidne til spektakulære resultater inden for de individuelle matematiske discipliner, men afdækkede også dybe sammenhænge imellem tilsyneladende meget forskellige grene af matematikken. Særligt bemærkelsesværdigt i denne sammenhæng er det spektakulære arbejde i midten af 1960'erne om indekssætningen for elliptiske operatorer på mangfoldigheder af Michael Atiyah og den amerikanske matematiker Isadore Singer - nu kendt som Atiyah-Singer indekssætningen.

Dette slagkraftige værktøj gav ikke alene en forklaring på mange tidligere resultater i geometri og topologi, men gav også helt nye forbindelser til andre matematiske emner såsom talteori og også til teoretisk fysik. Atiyah og Singer modtog i året 2004 Abel-prisen i matematik for dette arbejde.

Et særligt højdepunkt fra matematikken i det tyvende århundrede er beviset for Firfarvesætningen, at fire farver er nok til at farvelægge et landkort, så nabolande har forskellig farve. Igennem mere end et århundrede var der blevet foreslået mange beviser for sætningen, men alle havde vist sig at være defekte. I 1976 fremlagde Appel og Haken så et bevis, der som noget nyt i matematikken inddrog brugen af computere til rutinetjek af adskillige specielle konfigurationer. Da Neil Robertson, Daniel P. Sanders, Paul Seymour og Robin Thomas i 1996 fandt en simplere firfarve algoritme, som gav et nyt mere gennemskueligt bevis for Firfarvesætningen, forsvandt den sidste rest af tvivl om sætningens sandhed.

Inden for datalogi er der også foregået et enormt arbejde med at skabe gode algoritmer til implementering på computere, og der er opstået et vigtigt nyt matematisk felt, diskret matematik, der omfatter elementer fra områder af ren matematik som kombinatorik og grafteori og relativt nye anvendte matematiske emner som kodningsteori og kryptografi. Det klassiske matematiske felt talteori har vist sig meget nyttigt i kryptografi.

I begyndelsen af det tyvende århundrede udviklede teoretisk statistik sig til et vigtigt selvstændigt område af de matematiske videnskaber gennem arbejder af bl.a. Karl Pearson (1857-1936) og Ronald Fisher (1890-1962), som påpegede, at analyse af data må finde sted inden for en statistisk model. Fisher demonstrerede bl.a. den centrale betydning af variansanalyse i teorien for forsøgsplanlægning.

Matematik for evigt

I det tyvende århundrede steg abstraktionsniveauet i matematik til sådanne højder, at mange matematikere hen imod slutningen af århundredet var bekymrede for, at matematikken skulle miste forbindelsen til sine ofte meget konkrete rødder.

Ikke desto mindre har abstraktion i matematik til fulde bevist sin værdi i anvendelser på konkrete problemer fra den virkelige verden, og det matematiske sprog er ved arbejde af store matematikere igennem årtusinder blevet formet til at kunne beskrive og til at få indsigt i konkrete problemer af stadigt voksende kompleksitet. De udviklede abstrakte matematiske begreber og teorier gør det muligt at ræsonnere om vigtige forhold i tilværelsen og at gøre forudsigelser om forhold af betydning for menneskehedens fremtid.

Nye generationer af matematikere vil også få brug for at skabe mere matematik og for at udvikle nye overraskende matematiske begreber og teorier til at berige vores fælles fremtidige liv.

Hermed slutter serien om matematikkens udvikling. Læs de øvrige afsnit i temaet: Matematikkens Historie.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik