Matematik i Kina

På mange måder oplevede matematikken i Kina en uafhængig udvikling svarende til de fælles bestræbelser i andre civilisationer.

Kinas naturlige geografiske grænser (bjerge og hav) isolerede på den ene side landet fra fremmed påvirkning og på den anden side, når landet endelig blev erobret af indtrængende fjender, så blev de assimileret i den kinesiske kultur snarere end at søge den forandret i retning af deres egen kultur. I konsekvens heraf gennemgik Kina en kontinuert kulturel udvikling fra omkring 1000 f.Kr. og fremefter.

Ligesom det kinesiske sprog var matematikken i det gamle Kina meget koncis. Som regel var den motiveret af praktiske problemer, såsom at lave kalendere, og påvirket af handel, landmåling, arkitektur, bogholderi og skatter. Fra det fjerde århundrede f.Kr. blev kuglerammer brugt ved udregninger, hvilket effektivt betød, at et decimalsystem var i spil: Kuglerammer er et særkende for Kina, og de synes ikke at have været brugt af nogen anden civilisation.

Viden om kinesisk matematik før 100 f.Kr. er mangelfuld, selvom en bog skrevet på bambusstrimler om aritmetik har overlevet fra omkring 180 f.Kr. Mange betydningsfulde registrerede tekster har ikke overlevet, og kun lidt er kendt om deres indhold, heriblandt bøger med regneforskrifter af Du Zhong og Xu Shang. Den ældste fuldstændige tekst, som har overlevet, er værket Zhoubi suanjing (Zhous gnom manual) udarbejdet mellem 100 f.Kr. og 100 e.Kr.

Værket handler mest om astronomi og angiver, hvordan man kan bestemme himmellegemernes positioner ved at benytte instrumenter baseret på måling af skygger, såkaldte gnomer, men det indeholder også vigtige afsnit om matematik. Blandt andet indeholder værket en formulering af Gougu reglen, den kinesiske version af Pythagoras' sætning, som kineserne anvendte i forbindelse med landmåling, i astronomi og i andre emner. Meget af den kinesiske matematik fra denne periode blev udviklet på grund af behovet for at lave beregninger i forbindelse med konstruktion af kalendere og for at kunne forudsige himmellegemernes positioner.

De ni kapitler om den matematiske kunst

Den mest berømte kinesiske matematikbog til alle tider er Jiuzhang suanshu (De ni kapitler om den matematiske kunst), der sandsynligvis er fra omkring 200 f.Kr., og i hvert fald har kopier overlevet fra begyndelsen af vores tidsregning. Dette betydningsfulde arbejde kom til at dominere den matematiske udvikling og stil i Kina i de næste 1.500 år, og mange senere videreførelser fremkom i form af kommentarer til denne tekst.

Den indeholder blandt meget andet en række algoritmer til at løse lineære ligninger og til at uddrage kvadratrødder og kubikrødder, alt sammen idéer, som kineserne ultimativt udviklede til en detaljeret procedure til at løse polynomiale ligninger af vilkårlig grad. Set med matematiske briller gav Liu Hui (ca. 220-280) omkring 263 betydningsfulde matematiske bidrag i sin kommentar til Jiuzhang suanshu, idet han i modsætning til det, man ser i tidligere kinesiske tekster, angav de principper, hvorpå hans beregninger er baseret.

Liu Hui beregnede arealerne af regulære polygoner med op til 3072 kanter og udledte herfra, at π tilnærmelsesvist har værdien 3,14159. Liu gjorde også brug af Gougu reglen til at beregne højden af objekter og afstande til objekter i tilfælde, hvor disse størrelser ikke kan måles direkte. Omkring halvtreds år efter Lius bemærkelsesværdige bidrag til matematik blev der gjort et væsentligt fremskridt i astronomi, da Yu Xi opdagede præcessionen af jævndøgnene.

I skyggen af de store mestre

Det tog nogen tid, før der blev gjort fremskridt i matematikken, som i dybde nåede endnu længere end dem opnået af Liu Hui. Teksten Sunzi suanjing (Master Suns Matematiske Manual) af Sun Zi (ca. 400-460) indeholder en opgave, som bliver løst ved at bruge den kinesiske restklassesætning, og er den tidligst kendte forekomst af denne type opgave. En manual - formodentlig af Xiahou Yang (ca. 400-470) - indeholder fremstillinger af tal i decimalnotation ved brug af såvel positive som negative potenser af ti.

Zu Changzhi (ca. 429-501) og hans søn Zu Geng (ca. 450-520) gjorde et af de vigtigste fremskridt. Zu Changzhi var en astronom, der udførte præcise observationer, som han brugte til konstruktion af en ny kalender baseret på en cyklus pa 391 år. I værket Metode til Interpolation udregnede han arealet af en regulær polygon med 24576 kanter og udledte heraf, at tallet π ligger mellem 3,1415926 og 3,1415927.

Han anbefalede brugen af 355/113 som en god tilnærmelse til π (denne tilnærmelse blev ikke genopdaget i Europa før 1.000 år senere) og 22/7 i arbejde, som krævede mindre præcision. Sammen med sin søn Zu Geng fandt han formlen for volumenet af en kugle ved brug af et sektionsprincip, hvor kuglen skæres op i tynde skiver. Dette princip blev genopdaget af den italienske matematiker Bonaventura Cavalieri i 1635 og kendes nu i den vestlige verden som Cavalieris princip.

Begyndelsen til kinesisk algebra ses i et arbejde af Wang Xiaotong (ca. 580-640), hvori han løser nogle kubiske ligninger ved at udbygge en algoritme til at finde kubikrødder.

Interpolation var et vigtigt redskab i astronomi, og astronomen Liu Zhuo (ca. 544-610) udførte i den forbindelse kvadratisk interpolation ved at bruge en anden ordens differensmetode. Astronomien i Kina var ikke helt uafhængig af den udvikling, der fandt sted i Indien og i de indiske videnskabelige arbejder, hvoraf nogle blev oversat til kinesisk, og dette havde også indflydelse på matematikken.

Fra det sjette århundrede blev der undervist i matematik som en del af uddannelsesplanen for kommende embedsmænd, og Li Chunfeng (ca. 602-670) blev udnævnt som hovedredaktør af en samling matematiske afhandlinger til brug i denne sammenhæng. Samlingen blev i 1084 givet navnet De Ti Klassikere.

Perioden fra det tiende til det tolvte århundreder udviste kun få matematiske fremskridt. Nævnes bør dog bidrag af Jia Xian (ca. 1010-1070), hvori han forbedrede metoderne til at udregne kvadratrødder og kubikrødder og udvidede metoden til numerisk løsning af polynomiale ligninger ved at udregne potenser af summer med brug af binomialkoefficienter.

Et gyldent århundrede for matematik i Kina

Det trettende århundrede var en gylden periode for matematikken i Kina. Det første store fremskridt blev gjort af Oin Jiushao (1202-1261) i afhandlingen Shushu Jiuzhang (Matematisk Afhandling i Ni Afsnit), der fremkom i 1247. Oins værk indeholder blandt meget andet bemærkelsesværdigt arbejde om den kinesiske restklassesætning samt en formel for arealet af en trekant svarende til den formel, der blev fundet af den græske matematiker og ingeniør Heron omkring 60 e.Kr.

Li Zhi (ogsa kaldet Li Yeh) (1192-1279) er den næste af de store kinesiske matematikere i det trettende århundrede. Hans mest berømte arbejde er Ce yuan hai jing (Hav spejlbillede af cirkelmålinger) skrevet i 1248. Værket indeholder bl.a. en metode til at konstruere og arbejde med polynomiale ligninger. Han skrev også i 1259 et mere elementært arbejde Yi gu yan duan (Nye skridt i beregning), hvor geometriske problemer bliver løst ved algebra.

Yang Hui (ca. 1238-98) er en anden hovedfigur fra denne gyldne periode i kinesisk matematik. I 1261 skrev han værket Xiangjie jiuzhang suanfa (Detaljeret analyse af de matematiske regler i de Ni Kapitler og deres reklassifikationer).

Hans andre arbejder blev samlet i Yang Hui suanfa (Yang Huis metoder til beregning), der udkom i 1275. Yang beskrev multiplikation, division, roduddragning, kvadratiske ligninger og tilsvarende ligninger, rækker, udregninger af arealet af et rektangel, et trapez, en cirkel og andre figurer. Han gav også en beskrivelse af magiske kvadrater og magiske cirkler.

Den sidste af matematikerne fra den gyldne periode var Zhu Shijie (ca. 1260-1320), som skrev værkerne Suanxue qimeng (Introduktion til matematiske studier) publiceret i 1299, og Siyuan yujian (Sande refleksioner over de fire ukendte) publiceret i 1303.

Det sidstnævnte arbejde indeholder den aritmetiske trekant af binomialkoefficienter. Den aritmetiske trekant var kendt allerede af islamiske matematikere, men den bliver nu sædvanligvis kaldt Pascals trekant efter den franske matematiker Blaise Pascal, som i et arbejde fra 1654 underkastede den en udtømmende matematisk analyse og forbandt den med alt tidligere arbejde om figurtal, permutationer og kombinationer samt binomialkoefficienter.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik