Ukendt matematiker beviser gådefuld egenskab hos primtal
En matematiker, som ingen har hørt om før, har muligvis ført matematikken tættere på at bevise en flere hundrede år gammel påstand om primtal.

En ukendt matematiker har bevist dele af en flere hundrede år gammel påstand om særlige primtal, der danner såkaldte primtalspar. (Foto: Colourbox)

Kaffen er formentlig kommet galt i halsen, da redaktørerne ved Annals of Mathematics, et af verdens mest anerkendte tidsskrifter for matematik, åbnede indbakken den 17. april 2013.

Blandt den elektroniske post, som sædvanligvis indeholder mange hobby-matematikeres usammenhængende postulater om storslåede beviser, lå en e-mail, hvis indhold var udtrykt med præcision og klarhed, som kun en person, der mestrede sit matematiske felt, kunne være i besiddelse af.

E-mailen kom fra Yitang Zhang, en nogle og 50-årig underviser fra University of New Hampshire. Han var en komplet ukendt inden for matematikkens verden, men den artikel, som han netop havde indsendt til tidsskriftet, påstod at bevise dele af primtalspar-formodningen – en formodning, der har plaget talteoretikere i flere hundrede år og betragtes blandt nogle som en hellig gral inden for matematikken.

Primtalsbevis svarer til matematikkens Mount Everest

Yitang Zhangs bedrift består i at bevise, at lige meget hvor langt man går ud ad tallinjen, så vil der altid være et uendeligt antal primtal, hvis indbyrdes afstand er mindre end 70.000.000.

Det er overraskende, fordi man ved, at den gennemsnitlige afstand mellem primtallene bliver større og større, jo længere man går ud ad tallinjen. Hvis Yitang Zhangs formodning viser sig at være rigtig, så er det ifølge Lisbeth Fajstrup, lektor i matematik ved Aalborg Universitet, et væsentligt resultat for matematikken.

Ikke så meget fordi det kan bruges til noget konkret, men fordi spørgsmålet har fået matematikere og talteoretikere til at gruble i så lang tid.

»Når en formodning, som er blevet fremsat for flere hundrede år siden, kommer tættere på at blive bevist, så er det jo altid interessant,« siger Lisbeth Fajstrup og sammenligner Yitang Zhangs bedrift med at bestige Mount Everest for første gang.

Primtal har undret matematikere i 2.000 år

Fakta

Yitang Zhangs bedrift handler om primtal – de særlige tal der kun kan deles med 1 eller tallet selv:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101…

… er de første 26 i rækken og umiddelbart synes der ikke andet specielt ved dem, end at de er primtal. Gransker man lidt, lægger man dog mærke til, at enkelte tal i rækken synes tættere på hinanden end andre.

11 og 13 er for eksempel kun adskilt af tallet to. Det samme er sandt for 59 og 61, og fænomenet forekommer også seks andre steder i talrækken ovenfor.

Den type primtal kaldes primtalspar, og det var netop dem, som Yitang Zhang kastede sig over.

Primtalspar-formodningen handler om såkaldte primtalspar (se faktaboks). Primtal betragtes som byggestenene for tallene, fordi ethvert positivt heltal større end 1 kan skrives som et produkt af primtal. Derfor har deres egenskaber fascineret matematikere siden antikken.

Euklid, geometriens fader, beviste, at der findes uendelig mange primtal, hvilket vil sige, at uanset hvor langt man går ud af tallinjen, vil der blive ved med at findes primtal.

Primtalsparrene og påstande om, at der er uendelig mange af dem, kan spores langt tilbage i matematikhistorien. Det fortaber sig i tågerne, præcist hvornår den formodning først blev fremsat, men det er flere hundrede år siden.

I 1849 tog den franske matematiker Polignac skridtet videre og sagde, at der ikke blot findes uendeligt mange primtalspar, men at der for enhver fast afstand findes uendeligt mange primtalspar med netop den afstand.

Umiddelbart lyder det ikke som megen tilføjelse til Euklids teorem, men der er en kæmpe forskel.

Findes der uendeligt mange primtalspar?

For når den gennemsnitlige afstand mellem primtal bliver længere, jo større tallene bliver, kan det forekomme ulogisk, at der bliver ved med at være primtalspar adskilt af en bestemt afstand.

»Du kan altid finde et større primtal, men kan du altid finde et primtalspar? Det ved vi ikke, men vi ved, at der bliver længere og længere mellem primtallene,« siger Lisbeth Fajstrup.

Fakta

Når der bliver længere og længere mellem primtallene, kan det forekomme underligt, at primtal, som kun adskilles af tallet to, kan blive ved med at findes.

Men det gør de alligevel:

Det største primtalspar kendt i dag er 3.756.801.695.685 x 2^666.669 – 1 og 3.756.801.695.685 x 2^666.669 + 1.

Men Yitang Zhang har vist, at selvom afstanden bliver større og større, så vil der altid findes uendeligt mange primtalspar med en afstand på højest 70.000.000, og han har dermed taget et skridt tættere mod at bevise den gamle formodning.

Matematisk bevis skal granskes yderligere

Sidste gang, en matematiker mente at have løst primtalspar-formodningen, var i 2004, hvor en professor fra universitetet i Vanderbilt, Tennessee, lagde et bevis ud til før-publicering på internettet.  Desværre blev der hurtigt fundet en graverende fejl, og beviset blev trukket tilbage.

Siden har der ikke været nogle fremskridt, indtil Yitang Zhang indsendte sin artikel og viste, at dele af primtalspar-formodningen holder stik.  

Nu afventer hans artikel yderligere granskning, men indtil videre har flere førende matematikere sagt god for den, og forventningen er, at Yitang Zhang har fat i det rigtige.

Lisbeth Fajstrup kan godt forestille sig, hvordan han må have det lige nu:

»Det må være en enorm tilfredsstillelse at tage så stort et skrift mod en af de rigtig gamle formodninger. Man ved, at andre har forsøgt at bevise det i flere århundreder, og så lykkes det for en selv.«

Folk regnede heller ikke primtal for noget – og de regnede forkert

Kan den nye opdagelse så bruges til noget praktisk? Nej, siger Lisbeth Fajstrup. Umiddelbart har vi ingen reel anvendelse for primtalspar.

Fakta

Primtal fascinerer matematikere og talentusiaster.

Blandt andet fordi alle heltal større end 1 kan skrives som et produkt af primtal.

Rent praktisk danner de også grundlaget for moderne krypteringsteknologi, selvom ingen regnede med, at primtal kunne bruges til noget.

»Det er en intellektuelt interessant bedrift, men nej, det kan ikke ligefrem bruges i husholdningen, « siger hun og tilføjer, at det mest er spændende for dem, som interesserer sig for talteori.

»Jeg kan selvfølgelig stå og tænke over det, mens jeg laver mad… og så brænder det på,« tilføjer Lisbeth Fajstrup med et grin.

Alligevel skal man aldrig sige aldrig.

»Primtal troede man jo var hamrende uinteressante uden for matematikken, og berømte matematikere har sagt, at talteori ikke kan bruges til noget som helst,« siger Lisbeth Fajstrup.

Men de tog fejl.

»Primtal har jo fået en stor betydning for vores verden i dag, og meget af internettets sikkerhed er opbygget omkring primtal.«

Videnskab.dk Podcast

Lyt til vores seneste podcast herunder eller via en podcast-app på din smartphone.




Det sker