De intellektuelle efterfølgere til grækerne i matematikkens historie var hinduerne i Indien. Skønt hinduerne allerede havde leveret geniale elementer til matematikkens udvikling meget tidligere, så fik bidragene fra Indien først virkelig betydning, da de blev sammenfattet med de græske bidrag til matematikken af islamiske lærde. Dette blev til 'Den gyldne tidsalder for hinduerne og araberne i matematik'.

Hindumatematik

Hinducivilisationen i Indien daterer sig tilbage til mindst 2000 f.Kr., og dens matematiske traditioner kan følges tilbage til omkring 600 f.Kr. Blandt de religiøse skrifter fra denne tidlige periode var der en klasse af skrifter kaldet Śulvasūtras (regler for snoren), som indeholdt geometriske konstruktioner - baseret på strækning og bøjning af snore - for konstruktion af hellige altre.

Ved deres arbejde med design af hellige altre udviklede hinduerne gode tilnærmelser til √2, og de fandt løsninger til problemer svarende til kvadratiske ligninger - rent faktisk de samme løsninger, som meget tidligere var blevet fundet af babylonske matematikere. I geometri kendte de sandsynligvis regler, der svarer til Pythagoras' sætning. De matematiske regler blev opstillet på helt empirisk basis, og de blev ikke eftervist ved nogen form for bevisførelse.

Fra omkring 300 f.Kr. var matematik vigtigt i Jain-religionen såvel til praktiske udregninger i astronomi som til overvejelser i forbindelse med meget store tal. I denne periode lånte hinduerne elementer af babylonsk, og senere også græsk, matematisk astronomi. Hinduerne havde et ganske særligt talent for aritmetik, hvor de nåede meget langt på egen hånd. Hvad angår algebra, kan de have lånt fra Alexandria og muligvis direkte fra Babylonien, og Indien stod også i nogen grad i gæld til Kina.

Den virkelige blomstring af matematikken i Indien fandt sted i perioden fra omkring 500 til 1200 med Aryabhata (476-550) og Brahmagupta (598-670) som de to mest fremragende indiske matematikere samt senere Bhaskara (1114-ca.1185), som publicerede vigtige arbejder om aritmetik. Det meste arbejde var motiveret af astronomi og astrologi.

I begyndelsen af denne periode skabte hindumatematikere det positionssystem for tallene, som vi bruger i dag - dog ikke decimalbrøker. Senere indførte de negative tal til at repræsentere gæld, og de begyndte at bruge tallet 'nul' på den samme måde, vi nu anvender dette tal, dvs. som et tal til at gøre udregninger med - ikke bare en pladsholder. Aryabhata gav den første systematiske fremstilling af teorien for diofantiske ligninger. Han præsenterede også formler for summen af tallene og deres kvadrattal samt kubiktal, og han fandt tilnærmelsen 3,1416 til π. Omkring 628 gjorde Brahmagupta rede for betydningen af tallet 'nul', og han blev den først kendte bruger af negative tal.

Han løste også nogle kvadratiske diofantiske ligninger såsom ligningen 92x² + 1 = y² (nu kendt som Pells ligning), hvortil han fandt den heltallige løsning x = 120, y =1151. I denne periode udviklede hinduerne også grundlaget for den moderne trigonometri ved omstilling af græske idéer.

Efter 1350 blev trigonometrien yderligere udviklet - især i Sydindien - ved indførelsen af rækkeudviklinger, som man senere ser i Europa i forbindelse med metoderne fra differential- og integralregning (infinitesimalregning), med et hovedbidrag af Nilakantha i et arbejde fra 1501. Elementer af kombinatorik blev udviklet i forbindelse med studiet af metrum i poesi.

I en periode på næsten 800 år var den islamiske verden med Bagdad som centrum den vigtigste region for matematisk forskning. Her fandt den islamiske matematiker al-Khowârizmî løsningen til lineære og kvadratiske ligninger ved en algoritme. (Foto: Carsten Broder Hansen)

Hinduerne var interesserede i de aritmetiske og de beregningsmæssige aspekter af matematikken, som de bidrog stærkt til snarere end til de deduktive aspekter. Deres navn for matematik var ganita, som betyder 'videnskaben om beregninger'.

Islamisk matematik

I perioden 750-1500 var den islamiske verden den vigtigste region for matematisk forskning. Bemærkelsesværdige resultater blev opnået i aritmetik, i særdeleshed udviklingen af decimalsystemet. Islamiske videnskabsfolk ydede vigtige bidrag til algebra og trigonometri, og de studerede også geometri og talteori.

Arabiske matematikere videreudviklede matematikken af deres græske og indiske forgængere, hvis hovedværker blev oversat til arabisk - for størstedelens vedkommende i hovedcentret for visdom i akademiet bygget af kaliffen i Bagdad i begyndelsen af det niende århundrede. Ved sin beliggenhed på handelsruterne mellem Europa og Østen var Bagdad det ideelle sted for at sammensmelte bidragene fra grækerne og hinduerne.

I dette center arbejdede astronomen Muhammad ibn Musa al-Khowârizmî, som skrev bogen Al-jabr w'al muqâbala i 830. Ordet al-jabr på arabisk betyder 'genoprette', hvilket i denne sammenhæng vil sige at genoprette balancen i en ligning ved på passende vis at overføre et led, som fjernes fra den ene side i ligningen til den anden side. Her finder vi oprindelsen til ordet algebra. Al-Khowârizmî skrev også en betydningsfuld bog om regning med de indiske cifre, hvorved han banede vejen for en aritmetik med decimaler, som førte til indførelsen af decimalbrøker i det tiende århundrede.

I sin bog om algebra gav al-Khowârizmî først løsningen til lineære og kvadratiske ligninger ved en algoritme (et ord afledt af hans navn) svarende til den givet af babylonierne og dernæst et geometrisk bevis i den græske ånd. Disse traditioner i algebra blev fortsat af bl.a. Abu-Kamil og - med vægt på aritmetik - af al-Karaji i begyndelsen af det ellevte århundrede. I sin bog om algebra fra omkring 1079 demonstrerede Omar Khayyam, hvordan man kunne løse nogle typer af kubiske ligninger ved at skære keglesnit med hinanden.

Arabiske astronomer gjorde god brug af astronomiske hjælpemidler og instrumenter til navigation, såsom planisfæren og astrolabiet, som blev brugt til at observere himmellegemernes positioner og højder og til at bestemme tidspunktet på dagen. I den forbindelse blev trigonometri i planen og på kuglefladen videreudviklet fra de græske og indiske rødder af al-Battani (ca. 850-929), Abu'l-Wafa (940-98), al-Biruni (973-1048) og Nasir al-Din al-Tusi (1201-74). Nye trigonometriske formler, såsom sinusreglen, blev fundet, og de trigonometriske tabeller blev gjort mere nøjagtige.

I geometri leverede araberne betydningsfulde bidrag til konstruktion med passer og lineal (Abu'l-Wafa) og til studiet af parallelpostulatet. Ibn al-Haytham (ca. 965-1038) bestemte volumenet af en omdrejningsparaboloide i tilfælde, hvor omdrejningsaksen ikke er parallel med parablens akse - sådanne tilfælde blev ikke betragtet af Archimedes. Al-Haytham ydede også bemærkelsesværdige bidrag til optik - især til studiet af sfæriske og parabolske spejle.

Matematik i Europa i middelalderen

Den tidlige middelalder i Europa strækker sig fra omkring 400 til omkring 1000. I denne periode blev den matematiske arv fra grækerne stort set negligeret, og kun få matematiske fremskridt synes at være gjort. Der var heller ingen alvorlige forsøg på at dyrke matematik som et studieområde uden for det islamiske imperium, der strakte sig tværs over det nordlige Afrika og op i Spanien og Italien i Europa.

I den lange periode fra omkring år 400 til 1000 blev der i Europa kun gjort få matematiske fremskridt. En undtagelse er Leonardo af Pisa (ca. 1170-1250), som skrev det vigtige værk Liber Abaci designet til at undervise bredt i de hindu-arabiske beregningsmetoder.(Foto: Carsten Broder Hansen)

Genopblomstringen af interessen for matematik begyndte med Gerbert af Aurillac (938-1003), som blev uddannet i Catalonien, men havde god kontakt til de muslimske matematikere i det sydlige Spanien. Han var sandsynligvis den første, der indførte det hindu-arabiske talsystem i det kristne Europa, og han demonstrerede det på en kugleramme konstrueret til formålet. Gerbert blev kronet til Pave Sylvester II i 999.

De første oversættelser af de islamiske videnskabelige arbejder nåede til Europa omkring 1100, og de inkluderede også arabiske versioner af mange græske hovedværker. Nogle af de originale græske tekster fra de tidligere græske kolonier havde dog allerede været i Grækenland noget tidligere.

Ejendommeligt nok medførte introduktionen af nogle af de græske arbejder, at Europas opvågning forsinkedes et par århundreder. Dette gælder især Aristoteles' omfattende filosofiske skrifter, som var rimeligt velkendte omkring 1200. De intellektuelle var så begejstrede og imponerede over Aristoteles' omfattende lager af kendsgerninger og for hans logiske organisering af viden, at nye idéer ikke blev taget alvorligt.

For matematik var det måske også en hindring, at Aristoteles lagde mindre vægt på kvantitative matematiske forklaringer af naturfænomener end på kvalitative fysiske forklaringer. Ikke desto mindre fandt der dog nogen matematisk aktivitet sted i Europa i perioden fra 1100 til omkring 1450 med universiteterne i Oxford, Paris og Wien (grundlagt i 1365) og Erfurt (grundlagt i 1392) som hovedcentrene.

Leonardo af Pisa (ca. 1170-1250), kendt som Fibonacci, brugte også de hindu-arabiske taltegn, som Gerbert tidligere havde introduceret i det kristne Europa. I 1202 skrev Leonardo det betydningsfulde leksikografiske arbejde Liber Abaci, en fri oversættelse til latin af islamisk og græsk materiale.

Denne bog indeholder mange problemer i aritmetik og algebra, heriblandt det berømte problem om kaninerne, som fører til Fibonacci talfølgen 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., hvori hvert led efter de to første er summen af det forudgående par af led. Liber Abaci var designet til at undervise mere bredt i de hinduarabiske beregningsmetoder, som allerede var kendt i nogen udstrækning i Europa, men kun i klostrene.

I almindelighed brugte folk romerske talord og undgik nul, fordi de ikke forstod dette begreb. Leonardos bog ændrede kun en smule i dette billede, for trods hans fremstilling af de hindu-arabiske metoder til regning med hele tal og brøker samt kvadratrødder og kubikrødder blev arabertallene ikke fuldt ud accepteret i endnu 400 år.

I et senere arbejde Liber Quadratorum fra 1225 gav Leonardo en fremstilling af algebra. Han fulgte her vejen anvist af de islamiske lærde og beskrev tingene i ord snarere end ved at bruge symboler og baserede algebraen på aritmetiske metoder. På den geometriske side skrev Leonardo i 1220 værket Practica Geometriae, hvori han reproducerede en stor del af Euklids Elementer og af græsk trigonometri.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik