Sådan blev 380 år gammel matematisk gåde løst

»Næsten som musik,« udtaler matematikeren Arne Sletsjøe.

Han har netop tegnet de første toner i den naturlige overtonerække, som giver hvert musikinstrument den unikke kvalitet og klangfarve, der gør, at man kan høre forskel på de forskellige musikinstrumenter.

Alle tonerne danner tilsammen det, man kalder for overtonerækken. Men i dette tilfælde bruges disse overtoner ikke til en melodi. De er et billede af en ligning.

Planetbanernes ligning

»Ligningen kaldes for en elliptisk kurve. Man bruger antallet af løsninger på ligningen til at skabe en overtonerække,« forklarer Sletsjøe.

Elliptiske ligninger stammer fra forsøgene på at beregne længden på planeternes bane gennem rummet. Ligningens første toner minder også om åbningsmusikken til filmene Nærkontakt af tredje grad og Rumrejsen år 2001.

Dybt venskab

Men Abelprisvinderen Andrew Wiles var ikke interesseret i planetbanerne.

Han benyttede et slags matematisk venskab – et dybt venskab – mellem de elliptiske ligninger, som er tredjegradsspolynomier i to variable af formen y2=x3+ax+b og et andet matematisk begreb, som matematikerne kalder en modulær form.

Modulære former er en særlig form for symmetriske analytiske funktioner, som er defineret for komplekse tal med positiv imaginær del.

»De enkelte overtoner illustrerer antallet af løsninger på den elliptiske ligning, og de beskriver også den modulære form,« forklarer Sletsjøe. Han fortsætter:

»De modulære former kan deles op i enkelte bestanddele, meget lig den måde man kan dele en lyd kan op i grundtone og overtoner.«

Syv års arbejde og ét års fortvivlelse

Denne slags dybe sammenhæng mellem løsning af elliptiske ligninger og modulære former brugte Wilkes til at finde svaret på en 380 år gammel matematisk gåde.

Løsningen kostede ham syv års hemmeligt arbejde efterfulgt af fortvivlelse og et års arbejde med at rette en enkelt fejl. Men i 1995 kom han endelig i mål.

Advokat og hobby-matematiker

Gåden blev formuleret 380 år tidligere af en fransk advokat og hobby-matematiker. Det var en seriøs hobby. Pierre de Fermat holdt sine kort tæt til kroppen og lå langt fremme i en kappestrid med berømtheder som Pascal og Descartes.

Det var ofte ikke matematikere, men personlige venner, der modtog breve med alle de mærkelige ting, han fandt på – sandsynlighedsteori til spillerne, analytisk geometri til geograferne og optometristerne – og talteori til … nå ja, talteoretikerne.

Det var netop interessen for talteori, der i 1637 fik ham til at tilføje et afsnit i en gammel græsk matematikbog; en påstand som senere fik navnet Fermats sidste sætning.

Pythagoras’ sætning

Man kan koble denne mærkelige påstand sammen med noget, de fleste husker fra skoletiden – Pythagoras’ sætning.

Du husker vel den retvinklede trekant? Pythagoras’ sætning er en geometrisk sætning, som siger, at i en retvinklet trekant er summen af kateternes (de to korte siders) kvadrater lig med hypotenusens (den lange sides) kvadrat.

Massevis af trekanter

Der findes et uendeligt antal retvinklede trekanter i forskellige faconer. Alle har forskellige længder på kateterne – de korte sider – og hypotenusen – den lange side.

Alle matcher Pythagoras’ læresætning, som de fleste mennesker har lært udenad.

Hvis du bare tage hele tal, er der stadig et uendeligt antal katetere og hypotenuser – altså løsninger på ligningen.

For smal margen

Så kom Fermat og forkludrede det hele. Han sagde, at så længe du bare ganger siderne med sig selv én gang – ophøjer i anden som i Pythagoras’ sætning – så er der uendeligt mange løsninger.

Men – påstod Fermat – hvis du erstatter to-tallet i formlen med et tretal, firtal eller med endnu større tal i det uendelige, så findes der der ikke længere en løsning. Punktum.

Fermats lokkemad

Hvordan kunne han være så sikker? Fermat efterlod selv et lille mystisk spor. I den gamle græske bog skrev han:

»Jeg har fundet et virkelig vidunderligt bevis for denne sætning, men denne margen kan ikke rumme det.«

Bluffede han? Det tror vor tids matematikere. Han havde ikke de matematiske redskaber, der skal til for at løse opgaven.

Der skulle 380 års rejse i matematikkens dyb og en ny Abel-prisvinder til for at få fangst på den krog, som Fermat havde smidt ud.

Fermats lokkemad var et bevis for nummer fire. Der findes ikke et helt positivt tal a, b og c, som får denne ligning til at gå op.

Flere og flere primtal

Da beviset var fundet for tallet fire, var det temmelig enkelt for matematikere at fastslå, at beviset kun kunne gennemføres for primtal – et helt tal større end 1, der ikke er deleligt med andre hele positive tal end 1 og tallet selv.

Sikke en lettelse! For der er meget færre primtal. Nå nej, egentlig ikke; der er også uendeligt mange primtal. Tilbage til skrivebordet.

Leonhard Euler formåede selv at bevise formodningen for primtallet tre. Siden fulgte fem og syv. Den franske matematiker Sophie Germain formåede i begyndelsen af 1800-tallet at tilføje endnu en række primtal til samlingen, og tyskeren Ernst Kummer fulgte efter med endnu flere et par årtier senere.

Men 200 år efter, at Fermat havde hævdet, at der ikke fandtes løsninger for tal over to, står der stadig uendeligt mange primtal tilbage.

Den sorte svane

Det er meget sværere at bevise, at noget ikke findes – for eksempel løsningen på en ligning – end at bevise, at noget rent faktisk findes.

For eksempel sorte svaner. Findes de? Det er nok bare at finde én eneste sort svane, så er spørgsmålet besvaret. Omvendt er det meget sværere at bevise, at de ikke findes, for der findes altid et sted, man har glemt at kikke….

Elliptiske Abel

Antallet af primtal var fortsat uendeligt stort. Flere forsøgte, blandt andet manden, som har givet navnet til den pris, som Andrew Wiles blev tildelt – det norske matematikgeni Niels Henrik Abel.

»Abel publicerede ikke løsningsforslag, men det arbejde, han gjorde med Fermats store sætning, minder lidt om det, han blev mere kendt for – arbejdet med femtegradsligninger,« fortæller Sletsjøe.

Abel arbejdede også med elliptiske funktioner, som giver klangfarve til vores lydbillede af harmoniske overtoner.

Dyb sammenhæng

I 1950’erne kom forvarslet på det gennebrud, som senere banede vejen for en dybere forståelse af problemet.

To japanske matematikere, Yutaka Taniyama og Goro Shimura, opdagede en dybere sammenhæng mellem elliptiske kurver og en tilsyneladende helt anderledes matematisk disciplin – modulære former.

»De modulære former har en særlig symmetri. Hvis man illustrerer dem med lydbølger, er de usædvanlig smukke og harmoniske,« forklarer Sletsjøe.

Det er selvfølgelig et forenkling og et mentalt hjælpebillede for at få en anelse af påstandene på et sprog, som de færreste af os mestrer – matematik.

Elliptisk kurve + modulær form = sandt?

Hvis man laver overtoner af antallet af løsninger på den elliptiske ligning, vil den sammensatte lyd få en smuk form, som er et billede af symmetrien i den modulære form.

Med andre ord: For enhver elliptisk kurve kan vi tælle løsninger – overtonernes styrke – som svarer til en modulær form – den smukke sammensatte tone.

Det er Taniyama-Shimura-formodningen om, at enhver elliptisk kurve defineret for de rationelle tal er modulær. Men hvad har denne formodning med Fermats gamle store sætning at gøre?

Erstat et umuligt bevis med et andet

Gerhard Frey og Ken Ribet fandt svaret i 1980’erne. De bidrog på hver sin måde til at vise, at hvis den ene formodning er falsk, så er den anden det også.

Sagt med andre ord: Hvis man kan bevise at alle elliptiske kurver svarer til bestemte modulære former, har man bevist Fermats 380 år gamle sætning.

Problemet var bare, at beviset forekom lige så umulig at hale i land som Fermats oprindelige lokkemad. Men der var én matematiker, der havde de rigtige forudsætninger og den rette motivation.

Særligt sammentræf

Andrew Wiles var kun 10 år gammel, da han første gang så Fermats sætning i en matematikbog på biblioteket. Lige siden var han opslugt af sætningen, som matematikerne betragtede som uløselig.

Mange år senere fordybede han sig netop i de teorier, som Taniyama og Shimura havde kombineret; elliptiske kurver og modulære former. Det var et helt specielt sammentræf.

Spontane klapsalver

Wiles påbegyndte opgaven i 1986. Han holdt arbejdet hemmeligt, for han var bange for, at forsøget ville skabe så meget opmærksomhed, at han mistede koncentrationen, og at nogen måske ville komme ham i forkøbet.

Syv år senere begyndte rygterne at sprede sig. I 1993 holdt Wiles forelæsning på Cambridge University. Han havde ikke annonceret noget på forhånd, men han blev alligevel mødt af et tætpakket auditorium.

Da han afsluttede forelæsningen og konkluderede, at Fermats sidste sætning var bevist, brød salen ud i spontan applaus.

Åbenbaring

Men applausen skulle vise sig at komme for tidligt. Samme år fandt en kollega en fejl i Wiles’ bevis.

Havde han lavet en fejlberegning? Det var et ødelæggende nederlag for Wiles. For at redde stumperne genoptog han arbejdet sammen med en af sine tidligere studerende, Richard Taylor.

Efter et år var de i mål. I 1995 kunne den endelige version af beviset endelig publiceres. Og nu holdt det.

»Jeg havde denne utrolige åbenbaring. Det var det vigtigste øjeblik i mit liv,« fortalte Sir Andrew Wiles med tårer i øjnene i en BBC-dokumentar, ifølge den britiske forfatter Alex Bellos.

Nye redskaber

Hvad kan Fermats sætning egentlig bruges til, nu da den er blevet bevist? Kan den bruges til at skabe modeller, som beskriver universet?

»Fermats sidste sætning er i sig selv mest et kuriosum,« svarer Sletsjøe. Han tilføjer:

»380 års forsøg på at bevise sætningen har givet matematikerne nye redskaber. Uden disse redskaber var sætningen aldrig blevet bevist. Fermat havde ikke en chance.«

De nye redskaber har også leveret andre matematiske resultater.

Abel og netbank

Elliptiske kurver er et godt eksempel. Niels Henrik Abel introducerede dem, og andre matematikere udviklede gennem de næste 200 år teorien.

De elliptiske kurver er bærende for Wiles’ bevis. Samtidigt er de en vigtig brik i krypteringen af data mellem dig og netbank.

»Selve det matematiske bevis, som Wiles gennemførte, er utilgængeligt, hvis man ikke mestrer matematikken. Men det smukke i elliptiske kurver og modulære former kan alle få et indblik og høre harmonierne i,« afslutter Sletsjøe.

© forskning.no Oversat af Stephanie Lammers-Clark