Annonceinfo

Matematik i støbeskeen

MATEMATIKKENS HISTORIE 1: Matematik har længe været menneskets følgesvend. Der kendes genstande med antydning af matematiske aktiviteter, der er mange tusinde år gamle.

Der er afsat tre mærker øverst på den 20.000 år gamle Ishango-knogle. Disse mærker er efterfulgt af 6, 4 og 8 mærker. Det kunne tyde på, at personen, der har sat mærkerne, har kendt til multiplikation med to. Hvis man lægger antallet af mærker sammen i hver 'kolonne', får man følgende: 60, 48 og 60. Alle tal kan deles med 12. Mærkerne i knoglen anses for at være et af de første konkrete beviser for menneskets behov for at bruge matematikken til at måle og tælle. (Foto: Carsten Broder Hansen)

Matematikkens begyndelse strækker sig langt tilbage i tiden. Nøjagtigt hvor langt er svært at afgøre, men der kendes genstande med antydning af matematiske aktiviteter, der er mange tusinde år gamle. Matematikken har udviklet sig ujævnt igennem disse årtusinder. Nogle forholdsvis korte tidsrum, hvor nye opdagelser blev gjort, har efterfulgt lange perioder med beskeden matematisk aktivitet.

Siden den videnskabelige revolution i det sekstende og det syttende århundrede har matematikken dog oplevet en konstant markant vækst, og den matematiske metode er i dag anerkendt som en helt afgørende forudsætning for den moderne civilisation.

Ishango-knoglen - matematik for 20.000 år siden

Matematik har sit udspring i menneskehedens tidlige behov for at tælle og måle i forbindelse med både størrelser og rumlige objekter. Et interessant tidligt matematisk artefakt blev i 1960 fundet ved bredden af Edwardsøen på grænsen mellem Uganda og Congo og kendes som Ishango-knoglen. Knoglen har fået sit navn efter et lille kulturfolk - Ishangofolket - som levede på dette sted i forhistorisk tid. Knoglen er med kulstof 14-metoden dateret til at være omkring tyve tusinde år gammel.

Ishangomennesket har tilsyneladende lavet udskæringer i knoglen efter en slags mønster, men det er ikke klart, hvad stregerne eller mærkerne på knoglen præcist repræsenterer. Udskæringerne er højst sandsynlig blot en række af tal, men muligvis er der også lavet noget egentlig aritmetik på knoglen. Det er også blevet foreslået, at knoglen kan have været en månekalender, men det forbliver alt sammen spekulationer. Fundet af Ishango-knoglen støtter teorien om, at den senere matematik i det gamle Egypten i relation til pyramiderne og til landmåling har afrikanske rødder.

Egyptisk matematik

Udviklingen af en civilisation i det gamle Egypten var stærkt afhængig af tidevandet i floden Nilen og de årlige oversvømmelser, der var en afgørende forudsætning for både landbruget og livet i Egypten som helhed. Ved en oversvømmelse var det dog umiddelbart umuligt at se grænserne mellem de forskellige landbrug, og det var derfor vigtigt at holde styr på fordelingen af landstykker ved landmåling. Fra et matematisk synspunkt er det interessant, at navnet for det matematiske felt geometri er afledt af det græske ord geometria, som betyder måling af land, med andre ord landmåling. Den græske historiker Herodot brugte dette ord i det femte århundrede f.Kr. i sit store epos om Perserkrigene, hvori han skriver, at 'geometria' netop blev anvendt i det gamle Egypten til at finde den rette fordeling af landstykker efter Nilens oversvømmelser.

Fakta

Dette er første kapitel i serien 'Matematikkens historie'. Teksten kommer fra bogen Matematiske Horisonter udgivet af DTU.

Vi bringer de øvrige afsnit i de kommende uger.

Hovedbedrifterne udført af de tidlige egyptiske matematikere involverer praktiske færdigheder i tilknytning til måling ikke mindst i forbindelse med bygningen af de storslåede pyramider, hvoraf den ældste dateres til omkring 2700 f.Kr. Specielt skal nævnes, at den største af alle pyramider, Kheopspyramiden, har en kvadratisk grundflade med sidekanter af længde 230,3 meter med en fejlmargin på mindre end 0,01 %.

Hovedkilden til oldtidens egyptiske matematik er en papyrus fra omkring 1650 f.Kr., som er kopieret af Ahmes fra en ældre tekst fra omkring 1850 f.Kr., der ikke længere eksisterer. Papyrussen er navngivet Rhind-papyrussen efter den britiske opdagelsesrejsende Henry Rhind, som købte den i 1858. Papyrussen, der nu findes på British Museum, indeholder tabeller af tal og en samling på omkring 80 problemer, der er blevet brugt ved uddannelsen af skrivere. Nogle af problemerne er iklædt en praktisk formulering, såsom at bestemme, hvor meget brød eller hvor meget øl der kan fremstilles fra en given mængde korn, at udregne arealet af en rektangulær mark eller volumenet af en cylindrisk silo, samt hvordan man bestemmer hældningen af en pyramide.

Mange problemer er dog ikke forbundet med praktiske situationer. Løsningerne blev fundet ved brug af regler, som skriverne lærte; med mange af problemerne fulgte delvise eller endog fuldstændige løsninger. En af disse regler omhandler arealet af en cirkel og siger, at man finder arealet ved at tage diameteren i cirklen, subtrahere 1/9 af den og så kvadrere den resterende del. Denne fremgangsmåde giver en ganske god tilnærmelse til det eksakte areal af en cirkel, og det svarer til en tilnærmet værdi af tallet π på omkring 3,16 i nutidig skrivemåde. Det egyptiske talbegreb bestod af de positive hele tal, stambrøker (reciprokke til hele tal) og brøken 2/3. Egypterne havde symboler for tallene 1, 10, 100, osv., op til 1.000.000, og de konstruerede symboler for andre positive hele tal ved at gentage disse symboler. De havde detaljerede procedurer for multiplikation og division baseret på en simpel metode: Dublering og halvering.

Mesopotansk matematik

I oldtiden udvikledes en civilisation fra omkring 3500 f.Kr. af det sumeriske folk i landområdet mellem floderne Eufart og Tigris i det nuværende Irak. Landet blev kaldt Mesopotamien, som netop betyder 'mellem floderne'. Sumererne var det første folkeslag, som byggede større byer. Omkring 1700 f.Kr. erobrede herskeren i byen Babylon hele området omkring sin by, og byen udviklede sig til en imponerende metropol. I eftertiden er navnet Babylon lidt ukorrekt blevet knyttet til alle kulturelle og videnskabelige bedrifter opnået af folket i Mesopotamien.

Mesopotansk, eller babylonsk, matematik er den mest indgående studerede matematiske tradition før grækerne, og det er formodentlig den tradition, som har haft størst betydning for senere udviklinger i matematikken. Dette skyldes i høj grad, at skrivning i Mesopotamien blev udført med en stylus (som regel en bambusgriffel) på en tavle af vådt ler, som blev tørret i solen, når teksten var færdig, og at disse lertavler bedre kunne overleve til eftertiden end den mere forgængelige papyrus. Begyndelsen til matematik i Mesopotamien kan spores tilbage til omkring 3300 f.Kr., hvor behovet for en mere systematisk tilgang til bogholderi og opmåling af landarealer kaldte på udvikling af hensigtsmæssige målesystemer.

For næsten 4.000 år siden udviklede egypiske matematikere imponerende praktiske færdigheder for at kunne opføre de storslåede pyramider. Den største af den alle - Kheops-pyramiden uden for Cario - har en kvadratisk grundflade med sidekanter af længden 230,3 meter med en fejlmargin på mindre end 0,01 procent. (Foto: Carsten Broder Hansen)

Omkring 2500 f.Kr. blev det i Babylonien til en specialiseret beskæftigelse for nogle få udvalgte at skrive og regne. Kort før 2000 f.Kr. blev det første positionsbaserede talsystem udviklet til brug i den stærkt centraliserede og bureaukratiske administration.

Systemet var baseret på tallet 60 (trestalssystemet), og elementer af systemet kan stadig genfindes i vore dages tidsinddeling og vinkelmåling. Som det nok vil være uundgåeligt med virkelige matematikere, udvidede skriverne imidlertid deres matematiske idéer langt ud over grænserne for den praktiske nødvendighed. Til øvelsesformål skabte de i denne proces således de første rent matematiske opgaver, f.eks. division med store runde tal, inklusive tal, for hvilke det reciprokke tal giver en brøk, der ikke slutter i positionssystemet baseret på 60. Babylonsk matematik nåede sit højdepunkt omkring 1800 f.Kr., hvor metoderne til at løse ligninger af første og anden grad blev udviklet baseret på algebraiske teknikker som kvadratets fuldstændiggørelse - i brug også i vore dage. Til oplæring af studenter brugte man kun løsningsmetoden til lineære ligninger, hvorimod de mere raffinerede opgaver på det udgravede kildemateriale i form af lertavler tjente til at træne lærernes regnefærdigheder og til at vise deres tekniske beherskelse af metoderne.

Efter 1600 f.Kr. opløstes skolerne for professionelle skrivere, og arbejdet med mere avanceret matematik ophørte.

I anden halvdel af det første årtusinde f.Kr. indtraf en ny opblomstring i babylonsk matematik i tilknytning til udvikling af forbedrede metoder til astronomiske beregninger.

Mayansk matematik

Mayaerne er skaberne af den mest avancerede civilisation i det gamle Amerika, som varede i over 3.000 år, fra omkring 2000 f.Kr. til 1521, da spanske erobrere invaderede Mexico. Spanierne opdagede, at mayaerne havde skabt et stort imperium kontrolleret ved et netværk af tæt befolkede bystater. De havde et skriftsprog i form af komplicerede hieroglyffer skrevet på både sten og papir lavet af bark.

Ruiner ved Palenque i Mexico, hvor Mayafolket for 1.000 år siden beregnede varigheden af en månemåned til 29,5308 dage. Nutidens værdi er 29,53059 dage! (Foto: Carsten Broder Hansen)

Mayaerne var ivrige astronomer, der iagttog stjernehimlen nøje, og de udviklede en meget nøjagtig kalender baseret på studier af bevægelserne af solen, månen og Venus. De havde højtudviklede kunstarter såsom billedhuggerskulptur, malerkunst og pottemageri samt egentlige videnskaber såsom lægevidenskab. Der var mange handelsfolk i mayaernes samfund, men hovedparten beskæftigede sig med landbrug og dyrkede korn og andre afgrøder i et avanceret landbrugssystem, som indbefattede overrisling.

Mayaerne havde udviklet et interessant talsystem med tyve symboler, som repræsenterede tallene et til tyve. De skrev tallene ud ved at bruge streger og prikker, hvor hver prik repræsenterede 1 og hver streg repræsenterede 5. Ved at placere prikker oven over streger kunne de herved konstruere symboler for tallene 1 til 20 (se boks nederst i Dommedag udsat).

Talsystemer med basis 20 bruges stadig i vore dage af hopiindianerne i det nordøstlige Arizona og det arktiske folk inuitterne (eskimoerne). Det er næsten sikkert, at baggrunden for talsystemer med tyve som basis skal findes hos oldtidsfolk, der talte på både fingre og tæer. Det fuldstændige talsystem, som mayaerne brugte, var baseret på 18 og 20, således at tallet 360 var inkluderet.

Mayaerne udførte astronomiske målinger med bemærkelsesværdig nøjagtighed ved at benytte to pinde anbragt i et kryds og betragte de astronomiske objekter under den rette vinkel dannet af pindene. På basis af målinger med sådanne primitive instrumenter var mayaerne i stand til at beregne årets længde til 365,242 dage (nutidens værdi er 365,242198 dage).

To yderligere bemærkelsesværdige beregninger vedrører længden af månemåneden. I Copan (nu på grænsen mellem Honduras og Guatemala) fandt mayaastronomerne, at 149 månemåneder varede 4.400 dage, hvilket giver 29,5302 dage som længden af månemåneden. I Palenque i Mexico beregnede de, at 81 månemåneder varede i 2.392 dage, hvilket giver 29,5308 dage som længden af månemåneden. Nutidens værdi er 29,53059 dage.

Lavet i samarbejde med DTU Informatik

SV:arktiske tal

Det er muligt Per. Men jeg kan kun tale om hvordan det er i Grønland. For her bor jeg. Man kan diskutere om forskellene i sproget er dialektale eller ej. Nogen af mine grønlandske bekendte siger at nogen af de dem fra Canada og Alaska kan være svære at forstå mens andre er noget lettere. Så forskellene skal måske mere ligne dem der er mellem dansk, svensk og norsk. Nogen gange kan svensk og norsk være let andre gange kan svensk især være meget svært.

Ja, og visse former for jysk kan være fuldstændigt uforståeligt for københavnere som mig.

arktiske tal

Det er muligt Per. Men jeg kan kun tale om hvordan det er i Grønland. For her bor jeg. Man kan diskutere om forskellene i sproget er dialektale eller ej. Nogen af mine grønlandske bekendte siger at nogen af de dem fra Canada og Alaska kan være svære at forstå mens andre er noget lettere. Så forskellene skal måske mere ligne dem der er mellem dansk, svensk og norsk. Nogen gange kan svensk og norsk være let andre gange kan svensk især være meget svært.

SV:arkitiske talsystemer

Det er rigtigt at det arktiske folk inuitter -eller rettere de arktiske folk da Inuit er flere forskellige folk - har 20 som det største tal i deres oprindelige sprog. Det er dog de færeste her i Grønland som anvender tallene over 10 på grønlandsk. Nogen gange bliver tallene 11 og 12 brugt men næsten kun i forbindelse med klokken. Når der skal nævnes tal der er højere anvendes de danske betegelser. I gamle dage har en angivelse af mængder over 10 eller 20 blot været "mange". Der er dog nogen grønlændere der har konstrueret grønlandske betegelser for vilkårlige hele tal op til flere millioner men disse er aldrig slået igennem hos folk.

Er det ikke fælles for alle eskimoer, inuitter såvel som aleutere? Så vidt jeg huske kunne Knud Rasmussen på sin store slæderejse gøre sig forståelig helt til det aleutiske Alaska i vest. Og forskellen mellem de forskellige eskomosprog, være sig aleutisk som inuit, være temmelig dialektal.

arkitiske talsystemer

Det er rigtigt at det arktiske folk inuitter -eller rettere de arktiske folk da Inuit er flere forskellige folk - har 20 som det største tal i deres oprindelige sprog. Det er dog de færeste her i Grønland som anvender tallene over 10 på grønlandsk. Nogen gange bliver tallene 11 og 12 brugt men næsten kun i forbindelse med klokken. Når der skal nævnes tal der er højere anvendes de danske betegelser. I gamle dage har en angivelse af mængder over 10 eller 20 blot været "mange". Der er dog nogen grønlændere der har konstrueret grønlandske betegelser for vilkårlige hele tal op til flere millioner men disse er aldrig slået igennem hos folk.

Forklaring på billede tekst

Kheops-pyramiden uden for Cario - har en kvadratisk grundflade med sidekanter af længden 230,3 meter med en fejlmargin på mindre end 0,01 procent.
Når dette har kunne lade sig gøre så skyldes det er hjørner er en rekonstruktion fra omkring år 1900. De oprindelige hjørner er væk. 

SV:20-talssystemer

Sådan rent nysgerrigt; Danske tal-ord er vel strengt taget også 20-baseret; halvfems - halvfemte snese, firs - fire-snese, halvfjerds - halv-fjerde snese etc. 
Betyder det så, at der i dansk er en meget gammel rest af noget oldtidstælleri - og hvis der er, hvornår er det så forsvundet fra Svensk (øst-dansk) eller ?

Faktisk var danskerne oprindelig delt i det spørgsmål. Jyderne gik tilsyneladende barfodede da de brugte 20-talssystemet mens vi i det østlige Danmark brugte 10-talssystemet. Sjælland var dog delt således at forstå at sjællændere brugte begge systemer, mens skåningene holdt sig til 10-talssystemet.
Men det er altså stadig »tilladt« at sige femtitre på dansk, i stedet for treoghalvtres. en forkortelse af tre og halvtredje sinds tyve. '3 + 2,5*20'.
På engelsk kan man i øvrigt også sige »five and three score« når man mener 65. Man møder det dog i moderne litteratur kun når en befolkningsgruppe skal beskrives som ekstremt tilbagestående og gammeldags ...

20-talssystemer

Sådan rent nysgerrigt; Danske tal-ord er vel strengt taget også 20-baseret; halvfems - halvfemte snese, firs - fire-snese, halvfjerds - halv-fjerde snese etc. 
Betyder det så, at der i dansk er en meget gammel rest af noget oldtidstælleri - og hvis der er, hvornår er det så forsvundet fra Svensk (øst-dansk) eller ?

Seneste fra Miljø & Naturvidenskab

Køb køb køb

Annonceinfo

Det læser andre lige nu

Annonceinfo

Annonceinfo

Abonner på vores nyhedsbrev

Når du tilmelder dig, deltager du i konkurrencen om lækre præmier.
Annonceinfo

Seneste kommentarer

Seneste blogindlæg