Annonceinfo

Derfor er algebra så svært

Norske elever ser på algebra som meningsløs manipulation af symboler, og har svært ved at forklare, hvorfor de laver udregninger, som de gør.

Mange norske elever ved lidt om, hvorfor reglerne for algebra er, som de er. (Foto: Istockphoto)

Margrethe Naalsund, lektor ved læreruddannelsen på Universitetet for miljø- og biovidenskab i Norge, har i sin doktorgrad kortlagt, hvordan norske elever tænker, når de arbejder med algebra.

Algebra er regning med ukendte tal, x-er og y-er, og er gerne blandt de grene af matematikken, vi har sværest ved på skolebænken.

De internationale kortlægningsstudier, PISA og TIMSS, som sammenligner matematiske færdigheder hos elever fra forskellige lande, har vist, at norske elevers algebrafærdigheder ligger under gennemsnittet for OECD-lande, og langt under for eksempel finnerne.

Men hvad er egentlig problemet?

»Der er mange elever, der ser på algebra som en meningsløs manipulation af symboler. De forstår ikke, hvorfor de skal følge de opsatte regler, og så går det hen og bliver rigtigt svært«, siger Naalsund.

Hun mener, opgaveløsning i sig selv ikke er nok, og at der må lægges meget større vægt på diskussion i klasseværelset.

X-regning er ikke som talregning

Først lidt grundlæggende algebra. Mens et almindeligt talregningsproblem kan se sådan ud:

12 + 7 – 15 =

… ser et typisk algebraproblem hellere sådan her ud:

3x + 16 = 24 + x

Man finder samme sum på begge sider af lighedstegnet i algebraproblemet, hvor x'et er en repræsentant for et ukendt tal, som elevene skal regne sig frem til.

I begge disse matematikeksempler er løsningen på opgaven tallet 4, men det kræver forskellige teknikker at komme frem til svaret.

Kan ikke svare på "hvorfor?"

I afhandlingen har Naalsund set på, hvordan elever forstår de metoder, de bruger, når de løser algebraopgaver. Efter at have bedt norske elever i 8. klasse og 10. klasse om at løse forskellige ligninger, interviewede hun dem for at høre mere om, hvordan de havde arbejdet med opgaverne.

»Under interviewet spurgte jeg dem, om de kunne forklare, hvorfor de gjorde, som de gjorde, når de fandt løsningen på opgaven, ”hvad tænkte du, der fik dig til at gøre det sådan?”, men jeg fik meget få begrundelser. De fleste sagde, de bare havde fulgt en regel, de havde lært«, siger Naalsund.

»Jeg har selv arbejdet med elever på videregående uddannelser, og det viste sig, at jeg tog det for givet, at de havde en nødvendig baggrundsviden om grundlæggende algebra, som de slet og ret ikke havde.«

I algebra er 2a ikke 2 appelsiner

Hvis man bare følger regler blindt, er det lettere at komme til at lave fejl.

Margrethe Naalsund (Foto: Privat)

»Det er typisk, at man overgeneraliserer de regler og operationer, der gælder i talregning. Man kan for eksempel forenkle udtryk i algebra ud fra de regler, som også gælder i talregning, men som ikke gælder her«, siger hun.

For eksempel kan udtrykket ”2a” i talregning opfattes som en forkortelse for ”2 appelsiner”. Men i algebra betyder ”2a” ”2 gange et vist antal appelsiner” – her er det talværdien af a, der kan variere.

Det kan være svært at forstå, når matematik i skolen indtil videre har handlet om faste tal og konkrete mængder frugt.

»Jeg mener, det er vigtig, at man ikke ser på færdigheder og begrebsforståelse som to forskellige ting, men forstår, at de to hænger sammen. Forstår du begreberne, er det lettere at få på plads, hvordan de kan bruges og omvendt«, siger Naalsund.

Forstå, hvordan elever tænker

Kan en del af problemet ligge i, at lærerne selv har nogle af de samme problemer med at forstå algebraprincipper, som elevene har?

»Ja, det er muligt. Det er jo vigtigt, at lærerne selv har en dybere forståelse af fagstoffet for at kunne undervise i det på en god måde«, siger Naalsund.

Men fagkundskaber alene er ikke nok. Naalsund tror, mange af norske elevers problemer med matematik kan løses med en mere holistisk tilgang til matematikforståelse: Hvordan tænker elever, når de skal løse en ligning? Hvad er hovedudfordringerne i det at forstå, at ”x” ikke bare er et tal, men en repræsentant for noget ukendt, som kan have flere værdier?

»En vigtig del af en lærers kompetencer, ud over at have solide fagkundskaber, er også at have kendskab til elevenes tankegang og forskellige indlæringsstrategier«, siger hun.

»Det er noget, jeg synes, vi som arbejder med læreruddannelserne må sørge for at understrege.«

Diskuter mere algebra!

I for eksempel historiefaget lægges der meget vægt på, at elevene ikke bare skal kunne årstal og historiske navne, men at de også skal kunne forklare, hvorfor og hvordan tingene hænger sammen – for eksempel, hvorfor skuddene i Sarajevo var med til at starte 1. verdenskrig.

Det finder man ikke i matematiktimerne:

»Vi har dokumentation på, at norske matematiktimer er domineret af lærerstyret gennemgang på tavlen på den ene side og individuel opgaveløsning på den anden. Meget mindre tid bliver brugt på for eksempel diskussion eller udforskning af matematiske problemer«, siger Naalsund.

»Men det er så vigtigt at arbejde med denne type færdigheder i undervisningen også - at elevene kan diskutere og få mulighed for at forklare, hvorfor og hvordan de har gjort ting med støtte og vejledning fra læreren.«

»Det kan give en dybere forståelse af fagstoffet, end hvis man har et ensidigt fokus på at løse en hel masse ligninger uden egentlig at forstå hvorfor.«

© forskning.no Oversat af: Mette Damsgaard

Ligninger

Hans Schou - du gik åbenbart ikke så længe i skole at du opdagede at 2.gradsligninger kun er begyndelsen på hvornår matematik bliver sjovt - men lad mig gøre det kort - uden matematik så ville det blive umuligt at regne tingene ud - symbolerne skabe et internationalt sprog der gør det muligt at udveksle kompleks information - vi kan ikke håndtere ting som relativitetsteorien - topologi - astronomi - kemi - dynamiske systemer - infinitesimalregningen osv. osv. uden den algebraen.......

Hvis algebra ikke fattes...

...kan tiden bedre bruges til at beskæftige sig med det humanistiske.

Demonstrer den praktisk relevans er essentielt

Vi havde en dag en vikar der var ingeniør, da jeg gik i realskolen (8-9 kl) i 70'erne.
Han viste hvad ligninger kan bruges til. Det var som en befriende åbenbaring husker jeg tydeligt.

Så jeg er enig med Svend Ferdinandsen's kommentar - algebra skal bruges igen og igen på praktiske problemer. Så bliver det mere interessant og dermed lettere at lære.

Et godt eksempel er problemformuleringer der afspejler sammenhænge beskrevet ved flere ligninger med flere ubekendte. Det kan selv ved ganske få variable blive fuldstændig uoverskueligt uden algebraisk metodik, men med algebra går det næsten som en tryllekunst.

Hun forstår ikke selv matematik

Hun forstår det ikke selv, og så vil hun gøre matematik til et problem.
Jeg kan godt følge hendes frustration, men det er ikke matematikken der er noget galt med, men lærerne (hvilket hun måske også er citeret for til sidst?).

Hvorfor skal man lære at regne med bogstaver? Sådan set bare for at bruge en formel.

Hvis man kører 100 km på 2 timer, hvilket kan skrives som 100 km per 2 t, så er formlen for hvor hurtigt man kører km/t. Skriv "100km" øverst på en brøkstreg og "2t" under stregen, så står det ret klart og tydeligt for de fleste at det er "50km/t".

Hvis man vil regne det omvendte ud, altså hvis man kører 50km/t og man så gør det i 2t, hvor man km har man så kørt? I spørgsmålet står at svaret skal angives i "km". Når så input er "km/t" og "t", ja så kan man med lidt algebra hurtigt se, at hvis man ganger de 2 formler med hinanden, så går "t" ud mod "t", og "km" bliver tilbage. (Det er nemmere at se med vandrette brækstreger, som der ikke er adgang til her i editoren).

Hvad så med den forbistrede andengradsligning? Hvorfor skal de stakkels elever plages med den? Egentlig er det blot formel man bruger til at øve brugen af formler, men den optræder også naturligt. Det gyldne snit, et pænt forhold mellem højden og bredden af et rektangel, kan løses på mange måder, enten ved at løse en andengradsligning, geometrisk eller ved at prøve sig frem.

Det er besværligt at prøve sig frem, så jeg har lavet en video om hvordan man prøver sig frem til at løse det gyldne snit med et regneark:
http://www.youtube.com/watch?v=cJbTCkraMtw
Nuvel, det tog kun nogle minutter, men hvis man skal lave beregninger for at lande et rumskib på månen, så skal det gå lidt hurtigere, og så må man løse ligningerne. Demoen med regnearket var kun for at vise et dagligdags eksempel på en andengradsligning, og hvordan man løser den numerisk (med regneark).

(lyden er lidt foran i videoen, men det skulle være tydeligt nok alligevel)

Den geometriske løsning af "Det Gyldne snit", som også kan skrives som en andengradsligning, forklares her ganske godt af en ældre herre:
http://www.youtube.com/watch?v=-ncEEXekZek
Så det samme problem kan løses på flere måder.

Som dyskalkuliker

Forstod jeg udmærket ligningen med x, der gav 4. Derimod tog det ganske lang tid for den anden opgave, som jeg fik til 15=15- eller 0, selv efter løsningen var oplyst.

Jeg regner som en fisk! Men jeg forstår matematik. Det er mærkeligt.

Algebra, hvorfor

Den manglende forståelse og evne kan udmærket skyldes, at eleverne ikke kan se andet formål i det, end at løse et stykke med besynderlige regler.
At behandle addition, subtraktion, multiplikation og division har et direkte praktisk formål, som forhåbentlig hurtigt ses. Algebra kræver mere for at se hvorfor det er en god ide.
Selvfølgelig skal man lære teknikken, men det bliver ren udenadslære medmindre man kan vise praktiske nede på jorden eksempler hvor det virkelig nytter, eller hvor det er tvingende nødvendigt.
Det er jo forskelligt som elever arbejder, og jeg mindes egentlig ikke i sin tid at den praktiske side af det blev forklaret.

Seneste fra Kultur & Samfund

Annonceinfo

Det læser andre lige nu

Annonceinfo

Annonceinfo

Abonner på vores nyhedsbrev

Når du tilmelder dig, deltager du i konkurrencen om lækre præmier.

Mest sete video

Annonceinfo

Seneste kommentarer

Seneste blogindlæg