Annonceinfo

Kan man stole på en computer?

Emner: , ,

 

Hvor mange farver skal man bruge for at farve at landkort, så ingen nabolande får samme farve?

Det er tilsyneladende et meget uskyldigt spørgsmål, men ikke desto mindre har det givet den moderne matematik en hel del problemer. Og det på mere end én måde.

For det første skulle man jo svare på selve spørgsmålet: Hvor mange farver skal man bruge, så ingen nabolande får samme farve?

Ud fra praktiske erfaringer med landkort havde man på fornemmelsen, at man nok kunne klare sig med fire, men for at være helt sikker, måtte man selvfølgelig finde et rigtigt matematisk bevis for sagen.

Firefarvesætningen bevist efter 100 år

Det viste sig imidlertid at være lettere sagt end gjort. Matematikerne begyndte at lede efter et bevis for firefarvesætningen, som påstanden om de fire farver blev kaldt, i midten af 1800-tallet, men først i 1976 lykkedes det de tre matematikere Kenneth Appel, Wolfgang Haken og John Koch at finde et bevis.

Nu skulle man tro, at det var enden på historien, men faktisk er det først her, den for alvor begynder at blive interessant. For de tre matematikere havde nemlig ikke lavet hele beviset selv. De havde bare reduceret problemet til omkring 2.000 specialtilfælde, som de så havde fået en computer til at undersøge ét for ét.

Det er der sådan set ikke noget galt i, men problemet var bare, at det havde taget computeren godt syv uger at løse opgaven, og i det tidsrum havde den lavet så mange beregninger, at det vil være komplet umuligt for noget menneske nogensinde at tjekke dem alle igennem. Derfor er vi altså nødt til at stole på, at computeren har regnet rigtigt, hvis vi vil tro på, at beviset er korrekt.

En computeren pålidelig?

Og det er et problem, for matematisk viden er altid blevet opfattet som en særlig sikker form for viden. Man kan udelukkende opnå matematisk viden ved at tænke sig om, og derfor er matematikken ikke ramt af den grundlæggende usikkerhed, der karakteriserer erfaringsvidenskaber som fysik og kemi. Men det, at en computer er pålidelig, er ikke noget, man kan tænke sig frem til.

For at vide, om man kan stole på en computer, er man nødt til at trække på viden om, hvordan computerkredsløb mv. fungerer, og den slags viden er erfaringsviden, og dermed usikker. Af den grund føler en del matematikere, at det at acceptere beviset for firefarvesætningen vil føre til en fundamental ændring af selve matematikkens natur.

Accepterer man den slags beviser, vil matematikken komme til at indeholde et element af erfaringsviden, og vil dermed miste sin sikkerhed. Den skepsis har bl.a. ført til, at et andet computerassisteret bevis (nemlig Thomas Hales bevis for Keplers formodning) blev afvist af det ansete tidsskrift Annals of Mathematics.

Beviserne er måske ikke så forskellige

Spørgsmålet er nu, om skeptikerne har ret.

Hvis man ser nærmere efter, er computerassisterede beviser måske slet ikke så forskellige fra andre beviser. Det er jo ikke alle beviser, der umiddelbart kan overskues og gennemtjekkes med tanken alene. Det mest ekstreme eksempel er nok beviset for den såkaldte 'enorme sætning' om klassificeringen af alle endelige grupper.

Her arbejdede flere hundrede matematikere sammen, og beviset blev offentliggjort i mindre bidder i over 500 videnskabelige artikler, der tilsammen fyldte mere end 15.000 sider.

Det er klart, at dette bevis på et afgørende punkt ligner beviset for firefarvesætningen: Beviset er så langt, at det er meget vanskeligt for ikke at sige umuligt for en enkelt person at overskue og gennemtjekke det. Derfor bliver man nødt til at stole på andre matematikere, hvis man vil tro på, at beviset er korrekt.

Men det, at bestemte matematikere er pålidelige, er ikke noget, man kan tænke sig frem til. Det må bero på erfaringer med deres tidligere arbejder - fx helt banalt, at de har været i stand til at bestå deres matematikeksaminer og har været så driftsikre, at de er blevet ansat på et universitet.

Min tillid bygger på erfaring

Et lignende argument kan benyttes for mange andre beviser.

Det er sjældent, at en matematiker beviser en sætning helt fra bunden. Som oftest bygger man videre på sætninger, andre matematikere har bevist, og så gennemtjekker man ikke nødvendigvis deres bevis, men stoler på, at de har regnet rigtigt. Og sådan kunne man blive ved. Når det kommer til stykket, kan jeg jo ikke engang tænke mig til, at jeg selv regner rigtigt. Min tillid (og mangel på samme!) til min egen tænkekraft, bygger jo på en erfaring af, i hvilken grad jeg plejer at kunne tænke korrekt.

Så med andre ord kommer vi ikke uden om, at der er et element af erfaring i matematikken: Vi bliver nødt til at have en erfaringsbaseret tillid til, at den, der har lavet et bevis, har lavet det rigtigt, og det gælder hvad enten det er en computer, en matematiker eller mig selv, der har stået for de matematiske ræsonnementer.

Dermed er matematisk viden måske ikke helt så stensikker, som man traditionelt har troet. Som Brian Hayes bemærkede det: "Mathematical proof is foolproof, it seems, only in the absence of fools" (American Scientist, 2007, vol. 95, nr. 1, side 10-15).

Matematik bygger på argumenter

I sidste ende er det væsentlige måske heller ikke så meget hvem (eller hvad) der har lavet et bevis, men den type af argumenter, der indgår i det. Og her adskiller matematik sig fortsat fra andre videnskaber. I matematik accepterer vi kun logiske slutninger og ræsonnementer, mens man i andre videnskaber (i det mindste i natur- og socialvidenskaberne) bygger sin viden på eksperimenter og erfaringer indhøstet gennem observation.

At vi så i matematikken er nødt til at have en empirisk funderet tillid til, at den agent (computer eller menneskelig) der gennemfører de logiske slutninger gør det korrekt, er så en anden sag, men det er der sådan set ikke noget nyt i, og det er ikke noget introduktionen af computerassisterede beviser ændrer på.

 

'Kryptering 2. udgave'

Datamaskine-assisteret bevis er godt nok!

Et kompliceret bevis (som f.eks. for 4-farve-sætningen), hvor dele af beviset bygger på data leveret af et program, må betragtes som lige så godt som ethvert andet matematisk bevis under een forudsætning:
Beviset skal være ledsaget af omhyggelig og grundig specifikation og test-dokumentation, der viser (sandsynliggør), at programmet fungerer korrekt i forhold til spefikationen.
 

Ang. den linkede video

@Ivar: Ligesom Allan har jeg også (indtil videre) kun set første afsnit af Bill Gaedes serie. Men uagtet at man ikke har set alle sammen, kan man da sagtens vurdere blot denne ene episode. For enten så står episoden jo for sig selv uafhængigt af de følgende (i så tilfælde er det da helt fair at vurdere den for sig selv); eller også så er den en del af et fortløbende argument som en del af resten af serien - men hvis dette er tilfældet, så står og falder argumentet (dvs. hele serien) da også med dets enkelte dele hvorfor en kritik af blot et enkelt afsnit er berettiget.
Med det i baghovedet kan man altså godt være kvalificeret til at blot at vurdere en enkelt episode; og her tror jeg at jeg er rimelig meget på linje med Allan i sin kritik og tommel ned.
(Som en sidebemærkning så har jeg da personligt på fornemmelsen at den polemiske og meget utiltalende stil (argumentationsform) som han lægger i første afsnit, fortsætter i resten af serien - men den vurdering kan så stå sin prøve når jeg ser de næste videoer.)

Klar matematik anvendes abstrakt

Bedømmer du alle Bill Gaedes 10 afsnit efter kun at have set 1???
Det er jo præcis matematikkens abstraktioner som Bill Gaede bearbejder i de 10 afsnit og ender med den konklusion at matematikken, inden for de områder han behandler i de 10 afsnit, er ulogisk og uanvendelig som et naturvidenskabeligt "sprog".
Forskerne i Bill Gaedes behandlede områder indsætter abstrakte ligninger hver gang Kosmologien ikke opfører sig som forskerne vil have den til at gøre. Og det føler forskerne sig nødsaget til at gøre fordi forskerne på forhånd er "sovset ind" i fortidens abstrakte ligninger som også kan være så unaturlige og abstrakte at det udelukker de rigtige svar og løsninger.
Det handler om at forskere i stort omfang ukritisk anvender tidligere accepterede matematiske "kosmologiske konstanter" - ofte optil flere århundrede år gamle ligninger - og dermed forhindrer sig selv i at komme videre i deres egen tænkning i bestræbelserne for mere rigtige kosmologiske forklaringer.
Som Einstein selv skulle have udtalt: Kan du ikke forklare dine kosmologiske ideer så en barpige kan forstå dem, så har du ikke selv forstået din kosmologi klart nok.
Dermed er jo ikke sagt at matematikken kan være anvendelig på andre mere enkle og logiske områder.

Matematik er sprog

Du har helt ret i at en god bred debat fordrer at man også kommer med en kommentar til hvorfor man har lavet sin vurdering af et indlæg.
Jeg valgte at bruge tommel ned efter at have set første afsnit af Bill Gaedes 10 film.
Når man ønsker at kritisere naturvidenskaben som han gør med udgangspunkt i matematikken, er det dumt at lægge ud med at vise at man ikke har forstået hvad matematik reelt er. Matematik som sådan er nemlig ikke naturvidenskab, det er langt bedre at forholde sig til matematik som et abstrakt sprog med egen gramatik (axiomer og logiske krav), der er et velegnet værktøj inden for de fleste videnskablige dicipliner.
Det store problem består i at vort talesprog ikke er logisk og det er yderst vanskeligt at udtrykke sig tilstrækkeligt præcist, især når man ønsker at blive forstået på tværs af sprog og kulturgrænser. Vore sprog mangler også udtryk til at beskrive de abstrakte begreber man benytter i matematikken, derfor render man hele tiden ind i oversættelsesproblemer, når man ønsker at bruge almindeligt talesprog i stedet.
 

Tommel-bedømmelsen

Tillykke med det nye layout på kommentarboksen - det ser rigtig godt ud!
MEN jeg har én indvendelse: Man befordrer vel ikke en bred debat når vi bare kan klikke tommel op eller ned?
Naturfilosof Ivar Nielsen - www.native-science.dk

For klarhedens skyld

For klarhedens skyld indsætter jeg linket til Bill Gaede igen: HVOR GALT naturvidenskaben kan komme af sted når man anvender teoretisk matematik og fysik, fortæller Bill Gaede´s 10 kritiske afsnit om den generelle opfattelse af fysik, matematik og geometri. Se her: http://www.youtube.com/watch?v=PSJjs4l_FHU

NB: Husk: Den Mytologiske/Empiriske viden om vores galakses forhold så du først genopfrisket og genfortalt her på Videnskab.DK

DET KOMMER VEL AN PÅ? Meget

DET KOMMER VEL AN PÅ?
Meget firkantet vil jeg sige, at man vel godt kan stole på computerberegninger på det enkle og lineære plan, men jeg tvivler meget på computersimuleringer til at anskueliggøre større kosmologiske fænomener. Kosmologer og astrofysikere ved f. eks. ikke hvad ”tyngdekraft” er, men alligevel antager man at computersimuleringer skulle være troværdige når forskerne indsætter ligninger i Pc-simuleringer for denne ukendte størrelse. Man får jo kun de resultater som man kan forvente – uden at få nogen sandhedsværdi ud af simuleringerne. ARTIKLEN HEROVER er også inde på den væsentlige forskel imellem empirisk viden via forsøg og observationer og matematikkens viden via hypoteser og argumenter. Her burde man efter min mening anvende en blanding af begge dele når det er muligt. Tag f. eks. vore galakse Mælkevejen (http://da.wikipedia.org/wiki/M%C3%A6lkevejen) som et eksempel: Astrofysikerne og kosmologerne siger (og har PC-simuleret) at der er ”et sort hul” i midten af vores galakse hvor alt bliver suget ind i – selv om de ikke ved hvad ”tyngdekraft” er. MEN OBSERVERER man strukturerne i en bjælkegalakse, kan man se at der er tale om en stik modsat bevægelse i en sådan galakse. Galaksens arme stråler UD fra bjælkens ender og da bjælken i galaksen roterer om sit eget øje som i en Orkan, så spredes armene ud i en spiralform som spredes længere og længere ud i galaksens omgivelser. DEN EMPIRISKE viden om dette forhold kan studeres i alle folkeslags mundtlige og skriftlige berettelser om Skabelsen, hvor man i mange tilfælde kan få en endda meget detaljeret viden om skabelsens grundprincipper, men også en specifik viden om vores oprindelse der er tæt tilknyttet vores galakse Mælkevejen, hvorfra ”menneskeheden engang blev skabt ved Livets Træ i midten” og siden blev ”stødt ud” fra ”Edens Have”. (www.native-science.dk) Altså en fortælling om en oprindelse i midten af vores galakse som driver alt lys og stof ud fra centeret. En stik modsat bevægelse end naturvidenskabens illusive ”tyngdekraft”. DERMED FORTÆLLER den empiriske/mytologiske viden også: At alt i vores galakse er ”født” inde fra centeret – og dermed er vores solsystem ikke opstået ved et pludselig ”gravitations”-kollaps i en præ-skiveformet molekylær sky af gas og stof! Vores solsystem er født DIREKTE ud af galaksens centrum, hvor der stadig fødes nye stjerne i et centrum, som ellers burde suge alt ind i intetheden ifølge den gængse teori om en misforstået tyngdelov. HAVDE VORES moderne naturvidenskabsfolk bare kunnet set analytisk på et billede af en bjælkegalakse uden at støtte sig udelukkende til matematiske teorier, hypoteser og PC-simuleringer, så havde de i det mindste kunnet se med deres egne øjne, at deres hypoteser i mange tilfælde er åbenlyst fejlagtige. Det er som om deres matematiske lignelser og hypoteser ligger som en spærrende tåge foran deres øjne. HVOR GALT naturvidenskaben kan komme af sted når man anvender teoretisk matematik og fysik, fortæller Bill Gaede´s 10 kritiske afsnit om den generelle opfattelse af fysik, matematik og geometri. Se her: http://www.youtube.com/watch?v=PSJjs4l_FHU HAR MAN set disse 10 videoafsnit, tænker man virkelig på hvor skrøbelige argumenter der ellers kan ligge bag mange moderne naturvidenskabelige kosmologiske antagelser. Naturfilosof Ivar Nielsen – nielsen.ivar@gmail.com & www.cosmology-unified.dk

Seneste blogindlæg

Udgiv indhold

Mikkel Willum Johansen

Blogger om:

Videnskabsteori er elsket og hadet. Den kan bruges som den eddikesure, gamle mand, der vurderer, at fordybelse i et specifikt emne bestemt ikke kan kaldes reel forskning. På den anden side kan den med sin fleksibilitet bruges til at anerkende fordybelse i områder, som man ellers ikke ville kalde forskning. Videnskabsteorien giver anledning til at se på videnskabelige dilemmaer, kontroverser og de værdier, der styrer opfattelser og handlinger hos forskerne.

Andre bloggere i Teoribloggen:
Kristian H. Nielsen
Claus Emmeche
Annonceinfo

Seneste kommentarer

Annonceinfo